Nega biz nolga bo'lmaymiz?
Mundarija
O'quvchilar hayron bo'lishi mumkin, nega men butun bir maqolani bunday oddiy masalaga bag'ishlayman? Sababi, nom ostida operatsiyani tasodifiy amalga oshirayotgan talabalarning (!) hayratlanarli soni. Va nafaqat talabalar. Ba'zan men qo'lga va o'qituvchilar. Bunday o'qituvchilarning shogirdlari matematikadan nima qila oladilar? Ushbu matnni yozishning bevosita sababi nolga bo'lish muammosi bo'lmagan o'qituvchi bilan suhbat edi ...
Nol bilan, ha, hech narsa bilan bog'liq muammolar bundan mustasno, chunki biz uni kundalik hayotda ishlatishimiz shart emas. Biz nol tuxum uchun do'konga bormaymiz. "Xonada bitta odam bor" degani qandaydir tabiiy, "nol odam" esa sun'iy eshitiladi. Tilshunoslarning aytishicha, nol til tizimidan tashqarida.
Biz bank hisobvaraqlarida nolsiz ham qila olamiz: faqat termometrda bo'lgani kabi - musbat va salbiy qiymatlar uchun qizil va ko'k ranglardan foydalaning (harorat uchun musbat raqamlar uchun qizil rangdan foydalanish tabiiy, bank hisobvaraqlari uchun esa bu tabiiydir. Buning aksi, chunki debet ogohlantirishni boshlashi kerak, shuning uchun qizil rang tavsiya etiladi).
Nolni natural son sifatida kiritish orqali biz differensiallash masalasiga to‘xtalamiz Kardinal raqamlar od uy xo'jaligi. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ... ichida.
sonning kuchi u turgan joyning soni bilan bir xil. Aks holda, u allaqachon ketma-ketlikda 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
Yagona to'plamlar soni ikkinchi o'rinda, ikkita elementli to'plamlar soni uchinchi o'rinda turadi va hokazo. Nega, masalan, musobaqalarda sportchilarning o'rinlarini noldan boshlab raqamlamasligimizni tushuntirishimiz kerak. Keyin birinchi o'rin sohibi kumush medalga ega bo'lardi (oltin nol o'rin egasiga nasib etdi) va hokazo.. Futbolda biroz shunga o'xshash tartib qo'llanilgan - O'quvchilar "birinchi liga" degan ma'noni anglatishini bilmayman. eng yaxshisiga ergashish." ", va nol liga "oliy liga" bo'lishga chaqiriladi.
Ba'zan biz noldan boshlashimiz kerak degan argumentni eshitamiz, chunki bu IT xodimlari uchun qulaydir. Ushbu mulohazalarni davom ettiradigan bo'lsak, kilometrning ta'rifini o'zgartirish kerak - bu 1024 m bo'lishi kerak, chunki bu bir kilobaytdagi baytlar soni (men kompyuter olimlariga ma'lum bir hazilga murojaat qilaman: "Birinchi kurs talabasi va o'rtasidagi farq nimada? Bu fakultetning informatika fakultetining beshinchi kurs talabasi? kilobayt 1000 kilobayt, oxirgisi - bu kilometr 1024 metr")!
Yana bir nuqtai nazar, allaqachon jiddiy qabul qilinishi kerak: biz har doim noldan o'lchaymiz! O'lchagichdagi, uy-ro'zg'or tarozida, hatto soatda ham istalgan taroziga qarash kifoya. Biz noldan o'lchaganimiz uchun va hisoblashni o'lchovsiz birlik bilan o'lchash deb tushunish mumkin, shuning uchun biz noldan hisoblashimiz kerak.
Bu oddiy masala, lekin...
Keling, umumiy fikrni qoldirib, nolga bo'linishga qaytaylik. Masala oddiy va agar u bo'lmaganida oddiy bo'lar edi ... xo'sh nima? Keling, o'ylab ko'raylik va harakat qilaylik. Bu qancha bo'lishi mumkin - bir nolga bo'linadi? Keling, ko'rib chiqaylik: 1/0 = x. Ikkala tomonni chap tomonning maxrajiga ko'paytiring.
Biz 1 = 0 ni olamiz. Nimadir noto‘g‘ri! Nima bo'ldi? Oh, taxmin qiling! Birlik va nol nisbati bor degan taxmin ziddiyatga olib keladi. Va agar bitta raqamni nolga bo'lish mumkin bo'lmasa, unda boshqa raqam bo'lishi mumkin. Agar, O‘quvchi, yelka qisib, muallif (ya’ni men) nega bunday bema’ni gaplar haqida yozayotganiga hayron bo‘lsangiz, unda... Judayam xursandman!
0/0 = 0 formulasini o'jar asosda himoya qilish mumkin edi, lekin bu raqamni o'ziga bo'lish natijasi birga teng degan qoidaga zid keladi. Mutlaqo, lekin 0/0, °/° va shunga o'xshash belgilar hisobda juda farq qiladi. Ular hech qanday raqamni anglatmaydi, balki ma'lum turdagi ma'lum ketma-ketliklar uchun ramziy belgilardir.
Elektrotexnika kitobida men qiziqarli taqqoslashni topdim: nolga bo'linish yuqori kuchlanishli elektr energiyasi kabi xavflidir. Bu normaldir: Ohm qonuni kuchlanishning qarshilikka nisbati oqimga teng ekanligini bildiradi: V = U / R. Agar qarshilik nolga teng bo'lsa, nazariy jihatdan cheksiz oqim o'tkazgich orqali oqib, barcha mumkin bo'lgan o'tkazgichlarni yoqib yuboradi.
Men bir marta haftaning har bir kuni uchun nolga bo'linish xavfi haqida she'r yozganman. Esimda, eng dramatik kun payshanba edi, lekin bu sohadagi barcha ishlarim uchun afsus.
Biror narsani nolga bo'lganingizda
Juda erta dushanba
Hafta nima bo'ldi
Siz allaqachon muvaffaqiyatsizlikka uchragansiz.
Seshanba kuni tushdan keyin
Siz maxrajga nol qo'yasiz
Keyin aytaman, siz noto'g'risiz
Yomon matematik!
Noldan, buzuqlik orqali,
Chorshanba kuni ajrashmoqchiman
Siz juda ko'p muammolarga duch kelasiz
Boshingda pichan va suv bor!
Biz bilan bir Bartek bor edi.
U qoidalarga zid edi.
Payshanba kuni u nolga bo'linadi.
U endi oramizda emas!
Agar g'alati istak sizni qamrab olsa
Juma kuni nolga bo'linadi
Rostini aytsam, rostini aytsam:
Bu hafta oxiri yomon boshlanishi.
Nol bo'lganda, shanba kuni bir joyda
Ajratuvchi sizniki bo'ladi (qalin emas)
Cherkov devori ostida tiz cho'kib turing.
Bu sizning tirilishingizdir.
Chiziq ostidagi nolni xohlaysizmi,
Yakshanba kuni bayram qiling
Bo'r, qora taxta olib keling.
Yozing: u nolga bo'linmaydi!
Nol bo'shliq va hechlik bilan bog'liq. Darhaqiqat, u matematikaga hech qanday qo'shilganda uni o'zgartirmaydigan miqdor sifatida kelgan: x + 0 = x. Ammo endi nol bir nechta boshqa qiymatlarda, ayniqsa, kabi ko'rinadi masshtabni boshlash. Agar derazadan tashqarida na ijobiy harorat, na sovuq bo'lsa, unda ... bu nolga teng, bu umuman harorat yo'q degani emas. Nolinchi toifadagi yodgorlik uzoq vaqt davomida buzib tashlangan va oddiygina mavjud bo'lmagan yodgorlik emas. Aksincha, bu Vavel, Eyfel minorasi va Ozodlik haykali kabi narsadir.
Xo'sh, pozitsion tizimda nolning ahamiyatini ortiqcha baholab bo'lmaydi. Bilasizmi, o'quvchi, Bill Geytsning bank hisob raqamida nechta nol bor? Bilmayman, lekin yarmini xohlayman. Ko'rinishidan, Napoleon Bonapart odamlar nolga o'xshashligini payqagan: ular pozitsiya orqali ma'noga ega bo'ladilar. Anjey Vaydaning “Yillar o‘tib, kunlar o‘tar” asarida ehtirosli rassom Yerji portlaydi: “Filister nol, nihil, hech narsa, hech narsa, nihil, nol”. Ammo nol yaxshi bo'lishi mumkin: "normadan nol og'ish" hamma narsa yaxshi ketayotganini anglatadi va uni davom eting!
Keling, matematikaga qaytaylik. Nolni jazosiz qo'shish, ayirish va ko'paytirish mumkin. "Men nol kilogramm oldim", deydi Manya Anyaga. "Va bu qiziq, chunki men bir xil vazn yo'qotdim", deb javob beradi Anya. Shunday qilib, keling, olti marta muzqaymoqni olti nol porsiyadan iste'mol qilaylik, bu bizga zarar qilmaydi.
Biz nolga bo'la olmaymiz, lekin nolga bo'lishimiz mumkin. Bir tovoq nol chuchvara ovqat kutayotganlarga bemalol uzatiladi. Har biri qancha oladi?
Nol ijobiy yoki salbiy emas. Bu va raqam ijobiy bo'lmaganи salbiy bo'lmagan. U x≥0 va x≤0 tengsizliklarni qanoatlantiradi. "Ijobiy narsa" qarama-qarshiligi "salbiy narsa" emas, balki "narsa salbiy yoki nolga teng". Matematiklar, til qoidalariga zid ravishda, har doim biror narsa "nol" emas, balki "nolga teng" deb aytadilar. Ushbu amaliyotni oqlash uchun bizda bor: agar biz x = 0 "x nolga teng" formulasini o'qisak, u holda x = 1 "x birga teng" ni o'qiymiz, uni yutib yuborish mumkin edi, ammo "x = 1534267" haqida nima deyish mumkin? ? Shuningdek, siz 0 belgisiga raqamli qiymat bera olmaysiz0nolni salbiy kuchga ko'tarmang. Boshqa tomondan, siz o'zingizning xohishingizga ko'ra nolga o'tishingiz mumkin ... va natija har doim nolga teng bo'ladi.
Eksponensial funktsiya y = ax, a ning musbat asosi hech qachon nolga aylanmaydi. Bundan kelib chiqadiki, nol logarifm yo'q. Haqiqatan ham, a ning b asosga logarifmi a ning logarifmini olish uchun asosni ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkichdir. a = 0 uchun bunday ko'rsatkich yo'q va nol logarifmning asosi bo'la olmaydi. Biroq, Nyuton belgisining "maxraji" dagi nol boshqa narsadir. Bizning fikrimizcha, bu konventsiyalar qarama-qarshilikka olib kelmaydi.
yolg'on dalil
Nolga bo'linish noto'g'ri dalillar uchun keng tarqalgan mavzu bo'lib, hatto tajribali matematiklarda ham shunday bo'ladi. Sizga ikkita eng sevimli misolimni keltiraman. Birinchisi algebraik. Men barcha raqamlar teng ekanligini "isbotlayman". Aytaylik, ikkita teng bo'lmagan raqam bor. Demak, ulardan biri ikkinchisidan katta bo'lsin, a > b bo'lsin. Faraz qilaylik, c ularning farqi
c \uXNUMXd a - b. Shunday qilib, bizda a - b = c bor, bu erdan a = b + c.
Ikkinchisining ikkala qismini a - b ga ko'paytiramiz:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Men ak ni chap tomonga tarjima qilaman, albatta belgini o'zgartirishni eslayman:
a2 – ab – ac = ab – b2 – miloddan avvalgi.
Men umumiy omillarni istisno qilaman:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Men baham ko'raman va men xohlagan narsaga egaman:
a = b.
Va aslida ham g'alati, chunki men a > b deb faraz qildim va men a = b deb oldim.Agar yuqoridagi misolda "aldash" oson bo'lsa, unda quyidagi geometrik isbotda bu unchalik oson emas. Men buni isbotlayman ... trapezoid mavjud emas. Odatda trapezoid deb ataladigan figura mavjud emas.
Ammo, avvalo, trapezoid (quyidagi rasmda ABCD) kabi narsa bor deylik. Uning ikkita parallel tomoni ("asoslari") bor. Keling, bu asoslarni rasmda ko'rsatilgandek cho'zamiz, shunda biz parallelogramm olamiz. Uning diagonallari trapetsiyaning boshqa diagonalini quyidagi kabi uzunliklari x, y, z bilan belgilangan segmentlarga ajratadi. shakl 1. Tegishli uchburchaklarning o'xshashligidan biz nisbatlarni olamiz:
qaerda aniqlaymiz:
Oraz
qaerda aniqlaymiz:
Yulduzchalar bilan belgilangan tenglik tomonlarini ayirish:
Ikkala tomonni x − z ga qisqartirsak, biz – a/b = 1 ni olamiz, ya’ni a + b = 0. Lekin a, b raqamlari trapetsiya asoslarining uzunliklaridir. Agar ularning yig'indisi nolga teng bo'lsa, ular ham nolga teng. Bu shuni anglatadiki, trapezoid kabi figura mavjud emas! To'rtburchaklar, romblar va kvadratlar ham trapetsiya bo'lganligi sababli, aziz o'quvchi, romblar, to'rtburchaklar va kvadratlar ham yo'q ...
Guess Guess
Ma'lumot almashish to'rtta asosiy faoliyatning eng qiziqarli va qiyinidir. Bu erda, birinchi marta, biz balog'at yoshida tez-tez uchraydigan hodisaga duch kelamiz: "javobni taxmin qiling va keyin to'g'ri taxmin qilganingizni tekshiring". Buni Daniel K. Dennet juda to'g'ri ifodalagan ("Qanday qilib xato qilish kerak?", Bu qandaydir - Koinot bo'yicha ilmiy qo'llanma, CiS, Varshava, 1997):
Bu "taxmin qilish" usuli bizning kattalar hayotimizga xalaqit bermaydi - ehtimol biz buni erta o'rganganimiz va taxmin qilish qiyin emas. Mafkuraviy jihatdan, xuddi shunday hodisa, masalan, matematik (to'liq) induksiyada sodir bo'ladi. Xuddi shu joyda biz formulani "taxmin qilamiz" va keyin bizning taxminimiz to'g'ri yoki yo'qligini tekshiramiz. Talabalar doimo so'rashadi: "Biz naqshni qanday bildik? Uni qanday olib tashlash mumkin? ” Talabalar menga bu savolni berishganda, men ularning savolini hazilga aylantiraman: "Men buni bilaman, chunki men professionalman, chunki menga pul to'lanadi." Maktabdagi o'quvchilarga bir xil uslubda javob berish mumkin, faqat jiddiyroq.
mashq. E'tibor bering, biz qo'shish va yozma ko'paytirishni eng kichik birlik bilan, bo'lish esa eng yuqori birlik bilan boshlaymiz.
Ikki fikrning kombinatsiyasi
Matematika o'qituvchilari har doim kattalarni ajratish deb ataydigan narsa ikkita kontseptual jihatdan bir-biridan farq qiladigan g'oyalarning birlashuvi ekanligini ta'kidladilar: uy-joy i ajratish.
Birinchisi (uy-joy) arxetip bo'lgan vazifalarda uchraydi:
Bo'lish - bo'lish Bular kabi vazifalar:
? (Biz 1892 yilda Krakovda nashr etilgan Yulian Zgozalevichning qo'llanmasidan olingan ushbu muammoning asl uslubini saqlab qolamiz - zloti - XNUMX asr boshlarigacha Avstriya-Vengriya imperiyasida muomalada bo'lgan Ren zlotisi).
Endi ikkita muammoni ko'rib chiqing Polsha tilidagi eng qadimgi matematika darsligi, otasi Tomas Klos (1538). Bu divizionmi yoki kupemi? XNUMX asrdagi maktab o'quvchilari buni qanday hal qilishlari kerak:
(Polshachadan polshachaga tarjimasi: Bir bochkada bir litr va to‘rtta qozon bor. Bir qozon to‘rt litr. Kimdir savdo uchun 20 złga 50 barrel vino sotib olgan. Boj va soliq (aksiz?) 8 zł bo‘ladi. Qancha 8 zł topish uchun kvartni sotish kerakmi?)
Sport, fizika, muvofiqlik
Ba'zan sportda biror narsani nolga bo'lish kerak (gol nisbati). Xo'sh, hakamlar qandaydir tarzda buni hal qilishadi. Biroq, abstrakt algebrada ular kun tartibida. nolga teng bo'lmagan miqdorlaruning kvadrati nolga teng. Buni hatto oddiygina tushuntirish mumkin.
(y, 0) nuqtani (x, y) tekislikdagi nuqta bilan bog‘laydigan F funksiyani ko‘rib chiqaylik. F nima2, ya'ni F ning ikki marta bajarilishi? Nolinchi funksiya - har bir nuqtada tasvir mavjud (0,0).
Va nihoyat, kvadrati 0 bo'lgan nolga teng bo'lmagan miqdorlar fiziklar uchun deyarli kundalik non va a + b ko'rinishidagi raqamlar, bu erda e ≠ 0, lekin e2 = 0, matematiklar chaqiradi juft raqamlar. Ular matematik tahlil va differensial geometriyada uchraydi.
Axir, arifmetikada hech bo'lmaganda nomida nolga bo'linadigan narsa bor. dan keladi muvofiqlik. Z butun sonlar to‘plamini belgilasin. Z to'plamini p ga bo'lish, biz har bir sonni (butun sonni) boshqalarga, ya'ni ularning farqi bo'linadiganlarga tenglashtiramiz. Shunday qilib, bizda 0, 1, 2, 3, 4 raqamlariga mos keladigan besh turdagi raqamlar mavjud bo'lganda - 5 ga bo'linganda mumkin bo'lgan qoldiqlar. Formula quyidagicha yoziladi:
mod, agar farq ko'p bo'lsa.
= 2 uchun bizda faqat ikkita raqam mavjud: 0 va 1. Butun sonlarni ikkita bunday sinfga bo'lish ularni juft va toq sonlarga bo'lish bilan tengdir. Endi uni almashtiramiz. Farq har doim 1 ga bo'linadi (har qanday butun son 1 ga bo'linadi). =0 ni olish mumkinmi? Keling, sinab ko'raylik: ikki raqamning farqi qachon nolga karrali bo'ladi? Faqat bu ikki raqam teng bo'lganda. Shunday qilib, butun sonlar to'plamini nolga bo'lish mantiqiy, ammo bu qiziq emas: hech narsa sodir bo'lmaydi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, bu boshlang'ich maktabdan ma'lum bo'lgan ma'noda raqamlarning bo'linishi emas.
Bunday harakatlar oddiygina taqiqlangan, shuningdek, uzoq va keng matematika.
Guruch. 2. Taqqoslash yordamida sonlarni aniqlash
(5 rejim va 2 rejim)
