Matematikaning haqiqiy bo'lmagan dunyosiga sayohat

Men ushbu maqolani kompyuter fanlari kollejidagi ma'ruza va amaliyotdan so'ng, muhitlardan birida yozdim. Bu maktab o‘quvchilari, bilimi, fanga munosabati, eng muhimi, o‘qituvchilik mahoratini tanqid qilishdan o‘zimni himoya qilaman. Bu... ularni hech kim o'rgatmaydi.

Nega men bunchalik himoyachiman? Oddiy sababga ko'ra - men, ehtimol, atrofimizdagi dunyo hali tushunilmagan yoshdaman. Balki men ularga mashina haydashni emas, balki otlarni jabduqlar va jabduqlarni yechishni o‘rgatayotgandirman? Balki men ularga qalam bilan yozishni o'rgataman? Garchi men odam haqida yaxshiroq fikrda bo'lsam ham, men o'zimni "kuzatib ketyapman" deb hisoblayman, lekin ...

Yaqin vaqtgacha o'rta maktabda ular murakkab sonlar haqida gapirishardi. Va aynan shu chorshanba kuni men uyga keldim, ishdan ketdim - talabalarning deyarli hech biri bu nima ekanligini va bu raqamlardan qanday foydalanishni o'rganmagan. Ba'zilar barcha matematikaga bo'yalgan eshik oldidagi g'oz kabi qarashadi. Ammo ular menga qanday o'rganishni aytishganida men ham hayratda qoldim. Oddiy qilib aytganda, ma'ruzaning har bir soati ikki soatlik uy vazifasini o'z ichiga oladi: darslikni o'qish, berilgan mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishni o'rganish va hokazo. Shu tarzda tayyorgarlik ko'rib, biz hamma narsani yaxshilaydigan mashqlarga keldik ... Quvonarlisi, talabalar ma'ruzada o'tirish - ko'pincha derazadan tashqariga qarash - bilimning boshga kirishini kafolatlaydi deb o'ylashdi.

STOP! Bu yetarli. Men butun mamlakat bo‘ylab iqtidorli bolalarni qo‘llab-quvvatlovchi Milliy bolalar jamg‘armasi stipendiyasi sohiblari bilan dars davomida olgan savolimga javobimni bayon etaman. Savol (aniqrog'i taklif) shunday edi:

— Noreal raqamlar haqida biror narsa ayta olasizmi?

"Albatta", deb javob berdim. 

Raqamlarning haqiqati

"Do'st - bu boshqa men, do'stlik - bu 220 va 284 raqamlarining nisbati", dedi Pifagor. Bu yerda gap shundaki, 220 sonining bo‘luvchilari yig‘indisi 284 ga, 284 sonining bo‘luvchilari yig‘indisi esa 220 ga teng:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

220 va 284 raqamlari orasidagi yana bir qiziqarli tasodif bu: o'n yetti eng yuqori tub sonlar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, va 59.

Ularning yig'indisi 2x220, kvadratlarning yig'indisi esa 59x284.

Birinchidan. "Haqiqiy raqam" tushunchasi mavjud emas. Xuddi fillar haqidagi maqolani o‘qib, “Endi fil bo‘lmaganlarni so‘raymiz”, deb so‘ragandek bo‘lasiz. Butun va butun bo'lmagan, oqilona va irratsional mavjud, ammo haqiqiy bo'lmaganlar yo'q. Xususan: haqiqiy bo'lmagan raqamlar noto'g'ri deb nomlanmaydi. Matematikada "raqamlar"ning ko'p turlari mavjud va ular bir-biridan farq qiladi, masalan, zoologik taqqoslash uchun - fil va yomg'ir qurti.

Ikkinchidan, biz siz allaqachon taqiqlangan deb bilgan operatsiyalarni bajaramiz: manfiy sonlarning kvadrat ildizlarini olish. Xo'sh, matematika bunday to'siqlarni engib o'tadi. Buning ma'nosi bormi? Boshqa fanlarda bo'lgani kabi matematikada ham nazariyaning bilimlar omboriga abadiy kirib borishi... uning qo'llanilishiga bog'liq. Agar u foydasiz bo'lsa, u axlat qutisiga, keyin bilim tarixining qandaydir axlatiga tushadi. Ushbu maqolaning oxirida men gapiradigan raqamlarsiz matematikani rivojlantirish mumkin emas. Ammo ba'zi kichik narsalardan boshlaylik. Haqiqiy raqamlar nima, bilasizmi. Ular raqamlar qatorini zich va bo'shliqlarsiz to'ldiradilar. Siz natural sonlar nima ekanligini ham bilasiz: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. hatto eng katta xotira. Ularning ham go'zal nomi bor: tabiiy. Ular juda ko'p qiziqarli xususiyatlarga ega. Bu sizga qanday yoqadi:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

“Natural sonlarga qiziqish tabiiy, – dedi Karl Lindenxolm va Leopold Kroneker (1823–1891) buni ixcham qilib aytdi: “Tabiiy sonlarni Xudo yaratgan – qolgan hamma narsa insonning ishi!” Kasrlar (matematiklar tomonidan ratsional sonlar deb ataladi) ham ajoyib xususiyatlarga ega:

va tenglikda:

siz chap tomondan boshlab, plyuslarni ishqalashingiz va ularni ko'paytirish belgilari bilan almashtirishingiz mumkin - va tenglik haqiqiy bo'lib qoladi:

Va shunga o'xshash.

Ma'lumki, a va b butun sonlar va b ≠ 0 bo'lgan a/b kasrlar uchun ular aytadilar. ratsional son. Lekin faqat polyak tilida ular o'zlarini shunday deb atashadi. Ular ingliz, frantsuz, nemis va rus tilida gaplashadi. ratsional son. Ingliz tilida: ratsional sonlar. Irratsional sonlar mantiqsiz, mantiqsiz. Biz, shuningdek, irratsional nazariyalar, g'oyalar va amallar haqida polyakcha gaplashamiz - bu aqldan ozish, xayoliy, tushuntirib bo'lmaydigan narsa. Aytishlaricha, ayollar sichqonlardan qo'rqishadi - bu juda mantiqiy emasmi?

Qadim zamonlarda raqamlarning ruhi bor edi. Har biri nimanidir anglatardi, har biri nimanidir ramziy qildi, har biri koinot uyg'unligining zarralarini, ya'ni yunoncha, Kosmosni aks ettirdi. “Kosmos” so‘zining o‘zi aynan “tartib, tartib” degan ma’noni anglatadi. Eng muhimlari oltita (mukammal raqam) va o'nta bo'lib, 1+2+3+4 ketma-ket raqamlari yig'indisi boshqa raqamlardan tashkil topgan bo'lib, ularning ramziyligi hozirgi kungacha saqlanib qolgan. Shunday qilib, Pifagor raqamlar hamma narsaning boshlanishi va manbai va faqat kashfiyot ekanligini o'rgatdi irratsional sonlar Pifagor harakatini geometriyaga aylantirdi. Buning sababini maktabdan bilamiz

√2 - irratsional son

Faraz qilaylik: bor va bu kasrni qisqartirib bo'lmaydi. Xususan, p va q ham toqdir. Keling, kvadratga aylantiramiz: 2q²=p². p soni toq bo'lishi mumkin emas, shundan beri p² ham bo'lar edi va tenglikning chap tomoni 2 ga karrali. Demak, p juft, ya'ni p = 2r, demak p.²= 4r². 2q tenglamani kamaytiramiz²= 4r² tomonidan 2. Biz q ni olamiz²= 2r² va biz q ham juft bo'lishi kerakligini ko'ramiz, biz taxmin qilganimiz bunday emas. Olingan qarama-qarshilik isbotni to'ldiradi - bu formulani har bir matematik kitobda tez-tez uchratish mumkin. Bu shartli dalil sofistlarning sevimli hiylasidir.

Bu ulkanlikni Pifagorchilar tushuna olmadilar. Har bir narsani raqamlar bilan tasvirlash mumkin bo'lishi kerak va har bir kishi qum bo'ylab tayoq bilan chizishi mumkin bo'lgan kvadratning diagonali uzunligi yo'q, ya'ni o'lchanadi. "Bizning ishonchimiz behuda edi", deyishadi Pifagorchilar. Qanaqasiga? Bu qandaydir... mantiqsiz. Ittifoq mazhabviy usullar bilan o'zini qutqarishga harakat qildi. Ularning mavjudligini oshkor qilishga jur'at etgan har bir kishi irratsional sonlar, o'lim bilan jazolanishi kerak edi va, aftidan, birinchi hukmni ustaning o'zi bajargan.

Ammo "fikr befarq o'tdi". Oltin davr keldi. Yunonlar forslarni mag'lub etishdi (marafon 490, blok 479). Demokratiya mustahkamlandi, yangi falsafiy tafakkur markazlari, yangi maktablar vujudga keldi. Pifagorchilar hali ham irratsional raqamlar bilan kurashdilar. Ba'zilar va'z qilishdi: biz bu sirni tushunmaymiz; biz faqat Uncharted haqida o'ylashimiz va hayratga tushishimiz mumkin. Ikkinchisi ko'proq pragmatik edi va Sirni hurmat qilmadi. O'sha paytda irratsional sonlarni tushunishga imkon beradigan ikkita aqliy konstruktsiya paydo bo'ldi. Biz ularni bugungi kunda yetarlicha tushunganimiz Evdoksga (miloddan avvalgi XNUMX-asr) tegishli boʻlib, faqat XNUMX-asr oxirida nemis matematigi Rixard Dedekind Evdoks nazariyasiga qatʼiy talablarga muvofiq toʻgʻri rivojlanishni berdi. matematik mantiq.

Raqamlar yoki qiynoqlar massasi

Siz raqamlarsiz yashay olasizmi? Hatto hayot qanday bo'lar edi ... Biz ilgari oyoq uzunligini o'lchagan tayoq bilan poyabzal sotib olish uchun do'konga borishimiz kerak edi. "Men olma istayman, mana bu!" – bozorda sotuvchilarni ko‘rsatardik. "Modlindan Nowy Dwur Mazowieckigacha qancha masofa"? "Juda yaqin!"

Raqamlar o'lchash uchun ishlatiladi. Ularning yordami bilan biz boshqa ko'plab tushunchalarni ham ifodalaymiz. Masalan, xarita masshtabida mamlakat hududi qanchalik qisqarganligi ko'rsatilgan. Ikkidan birga shkala yoki oddiygina 2, biror narsaning ikki baravar kattalashganligini bildiradi. Matematik jihatdan aytaylik: har bir bir xillik raqamga - uning masshtabiga mos keladi.

Vazifa. Biz tasvirni bir necha marta kattalashtirib, xerografik nusxasini yaratdik. Keyin kattalashtirilgan bo'lak yana b marta kattalashtirildi. Umumiy kattalashtirish shkalasi nima? Javob: a × b b ga ko'paytiriladi. Bu tarozilarni ko'paytirish kerak. "Minus bir" raqami, -1, markazlashtirilgan, ya'ni 180 gradusga aylantirilgan bitta aniqlikka mos keladi. 90 daraja burilish qaysi raqamga to'g'ri keladi? Bunday raqam yo'q. Bu shunday, shunday... yoki to'g'rirog'i, yaqinda bo'ladi. Siz axloqiy qiynoqlarga tayyormisiz? Jasorat qiling va minus birning kvadrat ildizini oling. Eshitaman? Nima qila olmaysiz? Axir men senga mard bo‘l, dedim-ku. Uni torting! Hoy, mayli, torting, torting... Men yordam beraman... Mana: -1 Endi bizda bor, keling, undan foydalanishga harakat qilaylik... Albatta, endi barcha manfiy sonlarning ildizlarini ajratib olishimiz mumkin, chunki misol.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Bu ruhiy azob-uqubatlardan qat'i nazar." Girolamo Kardano 1539 yilda shunday deb yozgan va u bilan bog'liq ruhiy qiyinchiliklarni engishga harakat qilgan - tez orada u shunday deb nomlana boshladi. xayoliy miqdorlar. U bularni ko'rib chiqdi ...

...Vazifa. 10 ni ikki qismga bo'ling, ularning ko'paytmasi 40. Oldingi qismdan u shunday yozganini eslayman: Albatta mumkin emas. Biroq, keling, buni qilaylik: 10 ni ikkita teng qismga bo'ling, har biri 5 ga teng. Ularni ko'paytiring - 25 chiqdi. Olingan 25 dan, agar xohlasangiz, endi 40 ni ayiring va siz -15 ni olasiz. Endi qarang: 15 dan √-5 qo‘shilgan va ayirilsa, 40 ning ko‘paytmasini beradi. Bular 5-√-15 va 5 + √-15 raqamlari. Natijani tekshirish Kardano tomonidan quyidagicha amalga oshirildi:

“Yurak og'rig'idan qat'i nazar, 5 + √-15 ni 5-√-15 ga ko'paytiring. Biz 25 - (-15) ni olamiz, bu 25 + 15 ga teng. Demak, mahsulot 40 .... Bu juda qiyin”.

Xo'sh, qancha: (1 + √-1) (1-√-1)? Keling, ko'paytiraylik. √-1 × √-1 = -1 ekanligini unutmang. Ajoyib. Endi qiyinroq vazifa: a + b√-1 dan ab√-1 gacha. Nima bo'ldi? Albatta, shunday: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Buning nimasi qiziq? Misol uchun, biz "ilgari bilmagan" iboralarni faktorlarga ajratishimiz mumkin. uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulasi²-b² ning formulasini eslaysizmi²+b² bunday emas edi, chunki bo'lishi mumkin emas edi. Haqiqiy sonlar sohasida polinom²+b² bundan qochib bo'lmaydi. Keling, "minus bir" ning "bizning" kvadrat ildizini i harfi bilan belgilaymiz.²= -1. Bu "noreal" tub son. Va bu samolyotning 90 daraja burilishini tasvirlaydigan narsa. Nega? Hammasidan keyin; axiyri,²= -1, va bitta 90 graduslik aylanish va boshqa 180 graduslik aylanishni birlashtirish 45 graduslik aylanishni beradi. Qaysi turdagi aylanish tasvirlangan? Shubhasiz, XNUMX daraja burilish. -i nimani anglatadi? Bu biroz murakkabroq:

(-I)² = -i × (-i) = +i² = -1

Shunday qilib, -i 90 graduslik aylanishni ham tasvirlaydi, i ning aylanishiga teskari yo'nalishda. Qaysi biri chap, qaysi biri o'ng? Uchrashuvni belgilashingiz kerak. Faraz qilamizki, i soni matematiklar ijobiy deb hisoblagan yo‘nalishdagi aylanishni bildiradi: soat miliga teskari. -i raqami ko'rsatkichlar harakatlanayotgan yo'nalishdagi aylanishni tavsiflaydi.

Lekin i va -i kabi raqamlar mavjudmi? bor! Biz ularni shunchaki hayotga olib keldik. Eshitaman? Ular faqat bizning boshimizda bormi? Xo'sh, nimani kutish kerak? Boshqa barcha raqamlar ham faqat bizning ongimizda mavjud. Bizning yangi tug'ilgan raqamlarimiz omon qoladimi yoki yo'qligini ko'rishimiz kerak. Aniqrog'i, dizayn mantiqiymi va ular biror narsa uchun foydali bo'ladimi. Iltimos, hamma narsa joyida va bu yangi raqamlar haqiqatan ham foydali, degan so'zimni qabul qiling. 3+i, 5-7i, umumiyroq: a+bi kabi sonlar kompleks sonlar deyiladi. Men sizga samolyotni aylantirish orqali ularni qanday qilib olishingiz mumkinligini ko'rsatdim. Ularni turli yo'llar bilan kiritish mumkin: tekislikdagi nuqtalar, ba'zi polinomlar, qandaydir sonli massivlar kabi ... va har safar ular bir xil: x tenglamasi² +1=0 element yo'q... hokus pokus allaqachon mavjud!!!! Xursand bo'laylik va xursand bo'laylik!!!

Ekskursiya yakuni

Shu bilan soxta raqamlar mamlakatiga birinchi sayohatimiz yakunlanadi. Boshqa g'ayrioddiy raqamlardan, men orqada emas, oldida cheksiz sonli raqamlarga ega bo'lganlarini ham aytib o'taman (ular 10-adik deb ataladi, biz uchun p-adic muhimroq, bu erda p - tub son), chunki misol X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Iltimos, X ni hisoblaymiz². Sifatida? Agar cheksiz sonli raqamlardan keyin raqamning kvadratini hisoblasak nima bo'ladi? Xo'sh, keling, xuddi shunday qilaylik. Biz buni bilamiz x² = X.

Tenglamani qanoatlantiradigan, oldida cheksiz sonli boshqa shunday sonni topamiz. Maslahat: olti bilan tugaydigan sonning kvadrati ham olti bilan tugaydi. 76 bilan tugagan sonning kvadrati ham 76 bilan tugaydi. 376 bilan tugaydigan sonning kvadrati ham 376 bilan tugaydi. 9376 bilan tugaydigan sonning kvadrati ham 9376 bilan tugaydi. Shu bilan tugaydigan sonning kvadrati XNUMX kuni… Shu qadar kichik raqamlar ham borki, ular ijobiy bo'lgani uchun boshqa ijobiy raqamlardan kichikroq bo'lib qoladi. Ular shunchalik kichkinaki, ba'zida nolga teng bo'lish uchun ularni kvadratga solish kifoya. a × b = b × a shartini qanoatlantirmaydigan raqamlar mavjud. Bundan tashqari, cheksiz raqamlar mavjud. Qancha natural son bor? Cheksiz ko'pmi? Ha, lekin qancha? Buni qanday qilib raqam sifatida ifodalash mumkin? Javob: cheksiz sonlarning eng kichigi; u chiroyli harf bilan belgilangan: A va nol indeks A bilan to'ldiriladi₀ , alef-nol.

Biz bilmaydigan raqamlar ham bor... yoki xohlagancha ishonishingiz yoki ishonmasligingiz mumkin. Va shunga o'xshash narsalar haqida gapiradigan bo'lsak: Umid qilamanki, siz hali ham Unreal Numbers, Fantasy Species Numbersni yoqtirasiz.