Shifrlar va ayg'oqchilar
Bugungi Matematika burchagida men Milliy bolalar jamg‘armasining har yili o‘tkaziladigan bolalar uchun o‘tkaziladigan ilmiy lagerida muhokama qilgan mavzuni ko‘rib chiqaman. Jamg'arma ilmiy qiziqishlari bo'lgan bolalar va yoshlarni izlaydi. Siz haddan tashqari iqtidorli bo'lishingiz shart emas, lekin sizda "ilmiy izlanish" bo'lishi kerak. Juda yaxshi maktab baholari shart emas. Sinab ko'ring, ehtimol sizga yoqadi. Agar siz boshlang'ich maktab yoki o'rta maktab o'quvchisi bo'lsangiz, murojaat qiling. Odatda ota-onalar yoki maktab hisobot beradi, lekin bu har doim ham shunday emas. Jamg'arma veb-saytini toping va bilib oling.
Ilgari "dasturlash" deb atalgan faoliyatni nazarda tutuvchi "kodlash" haqida maktabda tobora ko'proq gapirilmoqda. Bu nazariy o'qituvchilar uchun umumiy tartibdir. Ular eski usullarni qazishadi, ularga yangi nom berishadi va "taraqqiyot" o'z-o'zidan amalga oshiriladi. Bunday tsiklik hodisa sodir bo'ladigan bir nechta hududlar mavjud.
Bundan xulosa qilish mumkinki, men didaktikani qadrsizlantiraman. Yo'q. Sivilizatsiya rivojlanishida biz ba'zan eskirgan, tashlab ketilgan va endi qayta tiklanayotgan narsalarga qaytamiz. Ammo bizning burchakimiz falsafiy emas, balki matematik.
Muayyan jamoaga mansublik “umumiy timsollar”, umumiy o‘qishlar, matal va matallarni ham anglatadi. Polsha tilini mukammal o'rgangan kishi "Shebrzeshynda katta chakalakzor bor, qamishda qo'ng'iz g'uvillab yuradi", agar u o'rmonchi nima qilyapti degan savolga javob bermasa, darhol begona davlatning josusi sifatida fosh qilinadi. Albatta, u bo'g'moqda!
Bu shunchaki hazil emas. 1944 yilning dekabrida nemislar katta xarajat evaziga Ardennlarda oxirgi hujumni boshladilar. Ular ingliz tilida ravon so'zlashadigan askarlarni ittifoqchi qo'shinlarning harakatini buzish uchun, masalan, chorrahada noto'g'ri yo'nalishga olib borish uchun safarbar qilishdi. Bir lahzalik hayratdan so'ng, amerikaliklar askarlarga shubhali savollar berishni boshladilar, bu savollarga javoblar Texas, Nebraska yoki Jorjiyadan kelgan odamga ayon bo'ladi va u erda o'smagan odam uchun aqlga sig'maydi. Haqiqatdan bexabarlik to'g'ridan-to'g'ri qatlga olib keldi.
Nuqtaga. O'quvchilarga Lukash Badovski va Zaslav Adamashekning "Stat tortmasidagi laboratoriya - matematika" kitobini tavsiya qilaman. Bu matematika haqiqatan ham biror narsa uchun foydali ekanligini va "matematik tajriba" bo'sh so'zlar emasligini yorqin tarzda ko'rsatadigan ajoyib kitob. Bu, boshqa narsalar qatori, "karton jumbog'i" ning tasvirlangan konstruktsiyasini o'z ichiga oladi - yaratilishiga atigi o'n besh daqiqa vaqt ketadigan va jiddiy shifrlash mashinasi kabi ishlaydigan qurilma. G‘oyaning o‘zi shu qadar ma’lum ediki, zikr etilgan mualliflar uni chiroyli ishlab chiqishgan, men uni biroz o‘zgartirib, ko‘proq matematik kiyimlarga o‘raman.
arra
Varshava chekkasidagi dacha qishlog'imning ko'chalaridan birida yaqinda "trlinka" - olti burchakli yulka plitalaridan yulka demontaj qilindi. Yurish noqulay edi, lekin matematikning ruhi shod edi. Samolyotni muntazam (ya'ni muntazam) ko'pburchaklar bilan qoplash oson emas. Bu faqat uchburchaklar, kvadratlar va muntazam olti burchakli bo'lishi mumkin.
Ehtimol, men bu ruhiy quvonch bilan biroz hazillashdim, lekin olti burchakli chiroyli raqam. Undan siz juda muvaffaqiyatli shifrlash qurilmasini yaratishingiz mumkin. Geometriya yordam beradi. Olti burchakli aylanish simmetriyasi bor - u 60 gradusga ko'paytirilganda bir-biriga yopishadi. Masalan, yuqori chap tomonda A harfi bilan belgilangan maydon Anjir. 1 bu burchakni aylantirgandan so'ng, u ham A qutisiga tushadi - va boshqa harflar bilan ham xuddi shunday. Shunday qilib, keling, to'rdan oltita kvadratni kesib olaylik, ularning har biri boshqa harf bilan. Shu tarzda olingan panjarani qog'oz varag'iga qo'yamiz. Bo'sh oltita maydonga biz shifrlamoqchi bo'lgan matnning oltita harfini kiriting. Keling, varaqni 60 daraja aylantiramiz. Oltita yangi maydon paydo bo'ladi - xabarimizning keyingi oltita harfini kiriting.
Guruch. 1. Matematika quvonchining trlinklari.
To'g'ri Anjir. 1 bizda shunday kodlangan matn bor: "Stansiyada ulkan og'ir parvoz bor".
Endi kichik maktab matematikasi foydali bo'ladi. Ikki sonni bir-biriga nisbatan nechta usulda joylashtirish mumkin?
Qanday ahmoqona savol? Ikkitasi uchun: biri oldida yoki boshqasi.
Ajoyib. Va uchta raqam?
Barcha sozlamalarni sanab o'tish ham qiyin emas:
123, 132, 213, 231, 312, 321-lar.
Xo'sh, bu to'rtta uchun! Buni hali ham aniq talaffuz qilish mumkin. Men qo'ygan tartib qoidasini taxmin qiling:
1234, 1243, 1423, 4123, 1324, 1342,
1432, 4132, 2134, 2143, 2413, 4213,
2314, 2341, 2431, 4231, 3124, 3142,
3412, 4312, 3214, 3241, 3421, 4321
Raqamlar besh bo'lsa, biz 120 ta mumkin bo'lgan sozlamalarni olamiz. Keling, ularni chaqiraylik almashtirishlar. n sonning mumkin bo'lgan almashtirishlar soni 1 2 3 ... n ko'paytma, deyiladi kuchli va undov belgisi bilan belgilanadi: 3!=6, 4!=24, 5!=120. Keyingi 6 raqami uchun bizda 6!=720 bor. Biz bundan olti burchakli shifr qalqonimizni murakkabroq qilish uchun foydalanamiz.
Biz 0 dan 5 gacha bo'lgan raqamlar almashinuvini tanlaymiz, masalan 351042. Bizning olti burchakli shifrlash diskimiz o'rta maydonda chiziqchaga ega - shuning uchun uni "nol holatiga" qo'yish mumkin - rasmdagi kabi yuqoriga chiziqcha. 1. Biz diskni shu tarzda hisobotimizni yozishimiz kerak bo'lgan qog'oz varag'iga qo'yamiz, lekin biz uni darhol yozmaymiz, lekin uni uch marta 60 gradusga (ya'ni 180 daraja) aylantiramiz va oltita harfni kiritamiz. bo'sh maydonlar. Biz boshlang'ich pozitsiyasiga qaytamiz. Biz kadranni besh marta 60 gradusga aylantiramiz, ya'ni kadramizning beshta "tishlari". Biz chop qilamiz. Keyingi o'lchov pozitsiyasi - bu nol atrofida 60 daraja aylantirilgan pozitsiya. To'rtinchi pozitsiya 0 daraja, bu boshlang'ich pozitsiyasi.
Nima bo'lganini tushundingizmi? Bizda qo'shimcha imkoniyat bor - "mashina" ni etti yuz barobardan ortiq murakkablashtirish! Shunday qilib, bizda "avtomat" ning ikkita mustaqil pozitsiyasi bor - panjara tanlash va almashtirishni tanlash. To'rni 66 = 46656 usulda tanlash mumkin, almashtirish 720. Bu 33592320 imkoniyatni beradi. 33 milliondan ortiq shifrlar! Deyarli bir oz kamroq, chunki ba'zi panjaralarni qog'ozdan kesib bo'lmaydi.
Pastki qismida Anjir. 1 Bizda shunday kodlangan xabar bor: "Men sizga to'rtta parashyut diviziyasini yuboraman." Dushmanning bu haqda bilishiga yo'l qo'ymaslik kerakligini tushunish oson. Ammo u buni tushunadimi:
TPOROPVMANVEORDISZ
YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY
351042 imzosi bilan ham?
Biz nemis shifrlash mashinasi Enigma ni yaratmoqdamiz
Guruch. 2. Bizning shifrlash mashinamizni dastlabki sozlash misoli.
Permutatsiyalar (AF) (BJ) (CL) (DW) (EI) (GT) (HO) (KS) (MX) (NU) (PZ) (RY).
Yuqorida aytib o'tganimdek, men bunday karton mashinasini yaratish g'oyasiga "Tartmadagi laboratoriya - matematika" kitobiga qarzdorman. Mening "konstruktsiyam" uning mualliflari tomonidan berilganidan biroz farq qiladi.
Urush paytida nemislar tomonidan qo'llanilgan shifrlash mashinasi biz olti burchakli shifrda ko'rganimizga o'xshash juda oddiy printsipga ega edi. Har safar bir xil narsa: maktubning boshqa harfga topshirilishini buzish. U almashtiriladigan bo'lishi kerak. Uni nazorat qilish uchun buni qanday qilish kerak?
Keling, har qanday almashtirishni emas, balki uzunligi 2 bo'lgan tsiklni tanlaylik. Oddiy qilib aytganda, bir necha oy oldin bu erda tasvirlangan "Gaderipoluk" kabi bir narsa, lekin alifboning barcha harflarini qamrab oladi. Keling, 24 ta harfni kelishib olaylik - ą, ę, ć, ó, ń, ś, ó, ż, ź, v, qsiz. Bunday almashtirishlar nechta? Bu o'rta maktab bitiruvchilari uchun vazifa (ular buni darhol hal qilishlari kerak). Necha dona? Juda ko'p? Bir necha ming? Ha:
1912098225024001185793365052108800000000 (bu raqamni o'qishga ham urinmaylik). "Nol" pozitsiyasini o'rnatish uchun juda ko'p imkoniyatlar mavjud. Va bu qiyin bo'lishi mumkin.
Bizning mashinamiz ikkita dumaloq diskdan iborat. Ulardan birida, hali ham turgan, harflar yozilgan. Bu biroz eski telefonning terishiga o'xshaydi, u erda siz raqamni butun yo'lgacha aylantirib tergansiz. Rotary - rang sxemasi bilan ikkinchi. Eng oson yo'li, ularni pin yordamida oddiy mantarga qo'yishdir. Mantar o'rniga siz yupqa taxta yoki qalin kartondan foydalanishingiz mumkin. Lukash Badovski va Zaslav Adamaszek ikkala diskni ham CD qutisiga joylashtirishni tavsiya qiladi.
Tasavvur qiling, biz ARMATY so'zini kodlamoqchimiz (Guruch. 2 va 3). Qurilmani nol holatiga o'rnating (yuqoriga o'q). A harfi F ga to'g'ri keladi. Ichki sxemani o'ngga bir harf bilan aylantiring. Bizda kodlash uchun R harfi bor, endi u A ga to'g'ri keladi. Keyingi aylanishdan keyin M harfi U ga to'g'ri kelishini ko'ramiz. Keyingi aylanish (to'rtinchi diagramma) A - P yozishmalarini beradi. Beshinchi terishda biz T. - A. Nihoyat (oltinchi doira ) Y – Y Dushman bizning CFCFAlarimiz uning uchun xavfli bo'lishini taxmin qilmasa kerak. Va "biznikilar" jo'natishni qanday o'qiydilar? Ular bir xil mashinaga, bir xil "dasturlashtirilgan", ya'ni bir xil almashtirishga ega bo'lishi kerak. Shifr nol pozitsiyasidan boshlanadi. Shunday qilib, F qiymati A. Kadrni soat yo'nalishi bo'yicha aylantiring. Endi A harfi R bilan bog‘langan. U siferblatni o‘ngga buradi va U harfi ostida M ni topadi va hokazo. Shifrlovchi generalga yuguradi: “General, xabar beryapman, qurollar kelyapti!”
Guruch. 3. Enigma qog'ozimizning ishlash printsipi.
| Guruch. 3. Enigma qog'ozimizning ishlash printsipi. | ||
Hatto bunday ibtidoiy Enigmaning imkoniyatlari ham hayratlanarli. Boshqa chiqish almashtirishlarini tanlashimiz mumkin. Biz qila olamiz - va bu erda yana ham ko'proq imkoniyatlar mavjud - muntazam ravishda bitta "serif" bilan emas, balki olti burchakka o'xshash ma'lum, kunlik o'zgaruvchan tartibda (masalan, birinchi uchta harf, keyin etti, keyin sakkiz, to'rtta ... .. va hokazo. .).
Qanday qilib taxmin qila olasiz?! Va hali polshalik matematiklar uchun (Marian Reevski, Zigalskilik Genrik, Eji Ruzicki) sodir bo'ldi. Shu tarzda olingan ma'lumotlar bebaho edi. Ilgari ular himoyamiz tarixiga birdek muhim hissa qo'shgan. Vatslav Sierpinskiy i Stanislav Mazurkevich1920 yilda rus qo'shinlari kodeksini buzgan. To'xtatilgan kabel Piłsudskiyga Veps daryosidan mashhur manevr qilish imkoniyatini berdi.
Vaslav Sierpinskini (1882-1969) eslayman. U tashqi dunyo mavjud bo'lmagan matematikga o'xshardi. U 1920 yildagi g'alabadagi ishtiroki haqida ham harbiy, ham ... siyosiy sabablarga ko'ra gapira olmadi (Polsha Xalq Respublikasi hukumati bizni Sovet Ittifoqidan himoya qilganlarni yoqtirmasdi).
Guruch. 4. Permutatsiya (AP) (BF) (CM) (DS) (EW) (GY) (HK) (IU) (JX) (LZ) (NR) (OT).
Guruch. 5. Chiroyli bezak, lekin shifrlash uchun mos emas. Juda muntazam.
1 vazifasi. Na Anjir. 4 Enigma yaratish uchun sizda boshqa almashtirish mavjud. Chizmani kserografga ko'chiring. Mashina yarating, ismingiz va familiyangizni kodlang. Mening CWONUE JTRYGT. Agar siz qaydlaringizni shaxsiy saqlashingiz kerak bo'lsa, Cardboard Enigma-dan foydalaning.
2 vazifasi. O'zingiz ko'rgan "mashinalar" dan birining ismingiz va familiyasini shifrlang, lekin (diqqat!) qo'shimcha murakkablik bilan: biz o'ngga bir chetni emas, balki {1, 2, 3, 2, 1 sxemasiga muvofiq, 2, 3, 2, 1, ....} - ya'ni birinchi navbatda bitta, keyin ikkita, keyin uch, keyin 2, keyin yana 1, keyin 2 va hokazo, bunday "to'lqin" . Mening ismim va familiyam CZTTAK SDBITH sifatida shifrlanganligiga ishonch hosil qiling. Endi Enigma mashinasi qanchalik kuchli ekanligini tushundingizmi?
O'rta maktab bitiruvchilari uchun muammolarni hal qilish. Enigma uchun qancha konfiguratsiya variantlari (ushbu versiyada, maqolada tasvirlanganidek)? Bizda 24 ta harf bor. Biz birinchi harf juftini tanlaymiz - buni amalga oshirish mumkin
yo'llari. Keyingi juftlikni tanlash mumkin
yo'llar, ko'proq
va hokazo. Tegishli hisob-kitoblardan so'ng (barcha raqamlarni ko'paytirish kerak), biz olamiz
151476660579404160000
Keyin bu raqamni 12 ga bo'ling! (12 faktorial), chunki bir xil juftlarni boshqa tartibda olish mumkin. Shunday qilib, oxirida biz "jami" ni olamiz
316234143225,
bu 300 milliarddan sal ko'proqni tashkil etadi, bu bugungi superkompyuterlar uchun hayratlanarli darajada katta raqamga o'xshamaydi. Biroq, agar almashtirishlarning tasodifiy tartibi hisobga olinsa, bu raqam sezilarli darajada oshadi. Boshqa turdagi almashtirishlar haqida ham o'ylashimiz mumkin.
Shuningdek qarang:
