SO KIMGA, ya'ni: QO'LINGIZDAN QAYERDA UYINING - 2-qism

Oldingi bo'limda biz Sudoku, arifmetik o'yinni ko'rib chiqdik, unda raqamlar asosan ma'lum qoidalarga muvofiq turli diagrammalarda joylashtirilgan. Eng keng tarqalgan variant - 9 × 9 shaxmat taxtasi, qo'shimcha ravishda to'qqizta 3 × 3 hujayraga bo'lingan. Unga 1 dan 9 gacha bo'lgan raqamlar vertikal qatorda (matematiklar aytadi: ustunda) yoki gorizontal qatorda (matematiklar aytadilar: qatorda) takrorlanmasligi uchun o'rnatilishi kerak - va bundan tashqari, shunday qilib takrorlamaydilar. har qanday kichik kvadrat ichida takrorlang.

Na Anjir. 1 biz bu jumboqni oddiyroq versiyada ko'ramiz, ya'ni 6 × 6 to'rtburchaklarga bo'lingan 2 × 3 kvadrat. Biz unga 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqamlarini kiritamiz - ular vertikal ravishda ham takrorlanmasligi uchun gorizontal, na tanlangan olti burchakli har birida.

Keling, yuqori kvadratda ko'rsatishga harakat qilaylik. Ushbu o'yin uchun belgilangan qoidalarga ko'ra, uni 1 dan 6 gacha raqamlar bilan to'ldira olasizmi? Bu mumkin - lekin noaniq. Keling, ko'rib chiqaylik - chap tomonda kvadrat yoki o'ngda kvadrat chizish.

Aytishimiz mumkinki, bu jumboq uchun asos emas. Biz odatda boshqotirma bitta yechimga ega deb hisoblaymiz. "Katta" Sudoku, 9x9 uchun turli asoslarni topish vazifasi qiyin vazifa va uni to'liq hal qilish imkoniyati yo'q.

Yana bir muhim aloqa - bu qarama-qarshi tizim. Pastki o'rta kvadratni (pastki o'ng burchakda 2 raqami bo'lgan) to'ldirib bo'lmaydi. Nega?

O'yin-kulgi va dam olish

Biz o'ynaymiz. Keling, bolalarning intuitsiyasidan foydalanaylik. Ular o'yin-kulgini o'rganishga kirish deb hisoblashadi. Keling, kosmosga chiqaylik. yoqilgan Anjir. 2 hamma panjarani ko'radi tetraedrni hosil qiladito'plardan, masalan, stol tennisi to'plaridan? Maktab geometriya darslarini eslang. Rasmning chap tomonidagi ranglar blokni yig'ishda nimaga yopishtirilganligini tushuntiradi. Xususan, uchta burchak (qizil) to'plar biriga yopishtiriladi. Shuning uchun ularning soni bir xil bo'lishi kerak. Balki 9. Nima uchun? Va nega emas?

Oh, men buni ibora qilmadim vazifalar. Bu shunday eshitiladi: 0 dan 9 gacha raqamlarni ko'rinadigan to'rga yozish mumkinmi, shunda har bir yuz barcha raqamlarni o'z ichiga oladi? Vazifa qiyin emas, lekin siz qanchalik tasavvur qilishingiz kerak! Men o'quvchilarning zavqini buzmayman va yechim ham bermayman.

Bu juda chiroyli va kam baholangan shakl. muntazam oktaedr, asosi kvadrat boʻlgan ikkita piramidadan (=piramidalar) qurilgan. Nomidan ko'rinib turibdiki, oktaedrning sakkizta yuzi bor.

Oktaedrda oltita uchi bor. Bu qarama-qarshidir kubuning oltita yuzi va sakkizta uchi bor. Ikkala bo'lakning qirralari bir xil - har biri o'n ikkita. Bu ikki tomonlama qattiq moddalar - bu shuni anglatadiki, kub yuzlarining markazlarini birlashtirib, biz oktaedrni olamiz va oktaedr yuzlarining markazlari bizga kubni beradi. Bu ikkala zarba ham bajaradi ("chunki ular kerak") Eyler formulasi: Cho'qqilar soni va yuzlar soni yig'indisi qirralarning sonidan 2 ga ko'p.

3. Parallel proyeksiyadagi muntazam oktaedr va har bir chetida to'rtta shar bo'ladigan tarzda sharlardan tuzilgan oktaedr panjarasi.

1 vazifasi. Birinchidan, oldingi paragrafning oxirgi jumlasini matematik formuladan foydalanib yozing. Ustida Anjir. 3 sharlardan tashkil topgan oktaedrik to'rni ko'rasiz. Har bir chekkada to'rtta shar bor. Har bir yuz o'nta shardan iborat uchburchakdir. Muammo mustaqil ravishda o'rnatiladi: 0 dan 9 gacha bo'lgan raqamlarni panjara doiralariga qo'yish mumkinmi, shunda qattiq jism yopishtirilgandan so'ng, har bir devor barcha raqamlarni o'z ichiga oladi (bundan takrorlanmasdan). Avvalgidek, bu vazifada eng katta qiyinchilik - bu to'rning qanday qilib qattiq tanaga aylanishi. Men buni yozma ravishda tushuntira olmayman, shuning uchun men bu erda ham yechim bermayman.

4. Ping-pong to'plaridan ikkita ikosahedr. Turli xil ranglar sxemasiga e'tibor bering.

allaqachon Platon (va u miloddan avvalgi XNUMX—XNUMX-asrlarda yashagan) barcha muntazam koʻp yuzlilarni bilar edi: tetraedr, kub, oktaedr, dodekohedron i icosahedron. U erga qanday etib kelgani hayratlanarli - na qalam, na qog'oz, na qalam, na kitob, na smartfon, na internet! Men bu yerda dodekadr haqida gapirmayman. Ammo ikosahedral sudoku qiziqarli. Biz bu bo'lakni ko'ramiz rasm 4va uning tarmog'i 5-rasm.

5. Ikosaedrning muntazam to'ri.

Avvalgidek, bu biz maktabdan eslab qolgan (?!) ma'noda panjara emas, balki to'plardan (to'plardan) uchburchaklarni yopishtirish usulidir.

2 vazifasi. Bunday ikosahedrni qurish uchun qancha to'p kerak? Quyidagi mulohaza hali ham to'g'ri keladimi: har bir yuz uchburchak bo'lgani uchun, agar 20 ta yuz bo'lishi kerak bo'lsa, unda 60 tagacha shar kerak bo'ladimi?

6. Sferalardan ikosahedrning panjarasi. Har bir doira, masalan, stol tennisi to'pidir, lekin bir xil rang bilan belgilangan doiralardagi doiralarning qurilishi bittaga birlashadi. Shunday qilib, bizda o'n ikkita shar bor (= o'n ikki cho'qqi: qizil, ko'k, binafsha, ko'k va sakkizta sariq).

Ikosaedrdagi uchta raqam etarli emasligini ko'rish oson. Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak: 1, 2, 3 raqamlari bilan cho'qqilarni sanab bo'lmaydi, shunda har bir (uchburchak) yuzda bu uchta raqam mavjud va hech qanday takrorlash bo'lmaydi. To'rtta raqam bilan mumkinmi? Ha, bu mumkin! Keling, ko'rib chiqaylik Guruch. 6 va 7.

7. Ikosaedrni tashkil etuvchi sharlarni har bir yuzda 1, 2, 3, 4 dan boshqa raqamlar bo'lishi uchun qanday raqamlash mumkin. Rasmdagi jismlarning qaysi biri. 4 shunday rangga bo'yalganmi?

3 vazifasi. To'rtta raqamdan uchtasini to'rtta usulda tanlash mumkin: 123, 124, 134, 234. Shakldagi ikosahedrda shunday beshta uchburchakni toping. 7 (shuningdek, dan illyustratsiyalar bitta).

4 vazifasi (juda yaxshi fazoviy tasavvurni talab qiladi). Ikosaedrning o'n ikkita uchi bor, ya'ni uni o'n ikkita shardan bir-biriga yopishtirish mumkin (Anjir. 7). E'tibor bering, uchta uch (=to'p) 1 bilan, uchtasi 2 va hokazo bilan belgilangan. Shunday qilib, bir xil rangdagi to'plar uchburchak hosil qiladi. Bu uchburchak nima? Balki teng qirrali? Yana qarang illyustratsiyalar bitta.

Bobo / buvisi va nabirasi / nabirasi uchun navbatdagi vazifa. Ota-onalar ham nihoyat qo'llarini sinab ko'rishlari mumkin, ammo ularga sabr va vaqt kerak.

5 vazifasi. O'n ikkita (afzalroq 24) stol tennisi to'pini, to'rtta rangdagi bo'yoq, cho'tka va to'g'ri elim sotib oling - men Superglue yoki Droplet kabi tezkorlarini tavsiya etmayman, chunki ular juda tez quriydi va bolalar uchun xavflidir. Ikosaedrga elim yopishtiring. Nabirangizga darhol yuviladigan (yoki tashlab yuboriladigan) futbolka kiying. Stolni folga bilan yoping (afzal gazetalar bilan). Ikosaedrni 1, 2, 3, 4 to'rtta rang bilan ehtiyotkorlik bilan ranglang, rasmda ko'rsatilganidek. Anjir. 7. Buyurtmani o'zgartirishingiz mumkin - avval sharlarni ranglang va keyin ularni yopishtiring. Shu bilan birga, bo'yoq bo'yoqqa yopishmasligi uchun mayda doiralar bo'yalmagan holda qolishi kerak.

Endi eng qiyin vazifa (aniqrog'i, ularning butun ketma-ketligi).

6 vazifasi (Aniqrog'i, umumiy mavzu). Ikosaedrni tetraedr va oktaedr shaklida chizing Guruch. 2 va 3 Bu har bir chekkada to'rtta to'p bo'lishi kerakligini anglatadi. Ushbu variantda vazifa ham vaqt talab etadi, ham qimmatga tushadi. Keling, sizga qancha to'p kerakligini aniqlashdan boshlaylik. Har bir yuzda o'nta shar bor, shuning uchun ikosahedrga ikki yuzta kerakmi? Yo'q! Ko'p to'plar birgalikda bo'lishini unutmasligimiz kerak. Ikosaedrning nechta qirrasi bor? Uni mashaqqatli hisoblash mumkin, ammo Eyler formulasi nima uchun?

w–k+s=2

Bu erda w, k, s mos ravishda cho'qqilar, qirralar va yuzlar soni. Biz w = 12, s = 20 ekanligini eslaymiz, bu k = 30 degan ma'noni anglatadi. Bizda ikosahedrning 30 ta chekkasi bor. Siz buni boshqacha qilishingiz mumkin, chunki agar 20 ta uchburchak bo'lsa, unda ular faqat 60 ta qirralarga ega, ammo ulardan ikkitasi keng tarqalgan.

Keling, sizga qancha to'p kerakligini hisoblaylik. Har bir uchburchakda faqat bitta ichki to'p bor - na tanamizning tepasida, na chetida. Shunday qilib, bizda jami 20 ta to'p bor. 12 ta cho'qqi bor. Har bir chekkada ikkita vertex bo'lmagan to'p bor (ular chekka ichida, lekin yuzning ichida emas). 30 ta chekka bo'lgani uchun 60 ta marmar bor, lekin ulardan ikkitasi umumiydir, ya'ni sizga faqat 30 ta marmar kerak bo'ladi, shuning uchun sizga jami 20 + 12 + 30 = 62 marmar kerak bo'ladi. To'plarni kamida 50 tiyinga sotib olish mumkin (odatda qimmatroq). Agar siz elim narxini qo'shsangiz, u chiqadi ... juda ko'p. Yaxshi bog'lash bir necha soatlik mashaqqatli mehnatni talab qiladi. Ular birgalikda dam olish uchun mos keladi - men ularni, masalan, televizor tomosha qilish o'rniga tavsiya qilaman.

Chekish 1. Anjey Vaydaning "Yillar, kunlar" filmlari seriyasida ikki kishi shaxmat o'ynashadi, chunki ular qandaydir tarzda kechki ovqatgacha vaqt o'tkazishlari kerak. Bu Galisiyaning Krakov shahrida bo'lib o'tadi. Haqiqatan ham: gazetalar allaqachon o'qilgan (o'sha paytda ular 4 sahifali edi), televizor va telefon hali ixtiro qilinmagan, futbol o'yinlari yo'q. Ko'lmaklarda zerikish. Bunday vaziyatda odamlar o'zlari uchun o'yin-kulgilarni o'ylab topdilar. Bugun bizda masofadan boshqarish pultini bosgandan keyin ular bor ...

Chekish 2. Matematika o‘qituvchilari assotsiatsiyasining 2019 yilgi yig‘ilishida ispaniyalik professor qattiq devorlarni istalgan rangga bo‘yash imkonini beruvchi kompyuter dasturini namoyish etdi. Bu biroz qo'rqinchli edi, chunki ular faqat qo'llarni chizishdi, tanani deyarli kesib tashlashdi. Men o'zimcha o'yladim: bunday "soyadan" qanchalik zavq olish mumkin? Hamma narsa ikki daqiqa davom etadi va to'rtinchisida biz hech narsani eslay olmaymiz. Ayni paytda, eski uslubdagi "kana ishi" tinchlantiradi va tarbiyalaydi. Kim ishonmasa, sinab ko'rsin.

Keling, XNUMX asrga va haqiqatimizga qaytaylik. Agar biz to'plarni mashaqqatli yopishtirish shaklida dam olishni istamasak, unda biz kamida to'rtta to'pga ega bo'lgan ikosahedrning panjarasini chizamiz. Buni qanday qilish kerak? To'g'ri kesib oling 6-rasm. Diqqatli o'quvchi allaqachon muammoni taxmin qiladi:

7 vazifasi. To'plarni 0 dan 9 gacha raqamlar bilan sanash mumkinmi, shunda bu raqamlarning barchasi bunday ikosahedrning har bir yuzida paydo bo'ladi?

Bizga nima uchun to'lanadi?

Bugun biz tez-tez o'zimizga faoliyatimizning maqsadi haqida savol beramiz va "kulrang soliq to'lovchi" nima uchun matematiklarga bunday jumboqlarni hal qilish uchun pul to'lashi kerakligini so'raydi?

Javob juda oddiy. O'z-o'zidan qiziqarli bo'lgan bunday "jumboqlar" "jiddiyroq narsaning parchasi". Axir, harbiy paradlar qiyin xizmatning tashqi, ajoyib qismidir. Men faqat bitta misol keltiraman, lekin men g'alati, ammo xalqaro miqyosda tan olingan matematika fanidan boshlayman. 1852 yilda ingliz talabasi professoridan qo'shni mamlakatlar har doim turli xil ranglarda ko'rsatilishi uchun xaritani to'rtta rang bilan bo'yash mumkinmi, deb so'radi. Qo'shimcha qilmoqchimanki, biz faqat bir nuqtada uchrashadiganlarni, masalan, AQShning Vayoming va Yuta shtatlarini "qo'shnilar" deb hisoblamaymiz. Professor bilmas edi... va muammo yuz yildan ortiq vaqtdan beri yechimini kutayotgan edi.

8. RECO bloklaridan ikosahedr. Fleshli reflektorlar ikosahedrning uchburchak va beshburchak bilan o'xshashligini ko'rsatadi. Har bir tepada beshta uchburchaklar yaqinlashadi.

Bu kutilmagan tarzda sodir bo'ldi. 1976 yilda bir guruh amerikalik matematiklar ushbu muammoni hal qilish uchun dastur yozdilar (va ular qaror qildilar: ha, to'rtta rang har doim etarli bo'ladi). Bu "matematik mashina" yordamida olingan matematik faktning birinchi isboti edi - kompyuter yarim asr oldin (va hatto undan oldin: "elektron miya") deb nomlangan.

Bu erda maxsus ko'rsatilgan "Yevropa xaritasi" (Anjir. 9). Umumiy chegaraga ega bo'lgan davlatlar bir-biriga bog'langan. Xaritani ranglash ushbu grafikning doiralarini (grafik deb ataladi) bo'yash bilan bir xil bo'ladi, shuning uchun hech qanday bog'langan doiralar bir xil rangda bo'lmaydi. Lixtenshteyn, Belgiya, Frantsiya va Germaniyaga qarash uchta rangning etarli emasligini ko'rsatadi. Xohlasangiz, O'quvchi, uni to'rtta rang bilan bo'yang.

9. Yevropada kim kimlar bilan chegaradosh?

Xo'sh, ha, lekin soliq to'lovchilarning puliga arziydimi? Shunday qilib, keling, xuddi shu grafikni biroz boshqacha ko'rib chiqaylik. Davlatlar va chegaralar borligini unutmang. Doiralar bir nuqtadan ikkinchisiga (masalan, P dan ESTgacha) yuboriladigan ma'lumot paketlarini ramziy qilib ko'rsatsin va segmentlar har biri o'z o'tkazish qobiliyatiga ega bo'lgan ulanishlarni ifodalaydi. Imkon qadar tezroq yuborilsinmi?

Birinchidan, matematik nuqtai nazardan juda soddalashtirilgan, ammo ayni paytda juda qiziqarli vaziyatni ko'rib chiqaylik. Biz S nuqtadan (= boshlang'ich sifatida) M nuqtasiga (= tugatish) bir xil o'tkazish qobiliyatiga ega ulanish tarmog'idan foydalangan holda biror narsa yuborishimiz kerak, deylik 1. Biz buni quyidagida ko'ramiz. Anjir. 10.

10. Statsyika Zdrojdan Megapolisgacha bo'lgan ulanishlar tarmog'i.

Tasavvur qilaylik, S dan M ga taxminan 89 bit ma'lumot yuborilishi kerak. Ushbu so'zlarning muallifi poezdlar bilan bog'liq muammolarni yaxshi ko'radi, shuning uchun u o'zini Stacie Zdrojda menejer deb tasavvur qiladi, u erdan 144 vagon jo'natishi kerak. metropolis stantsiyasiga. Nega aynan 144? Chunki, biz ko'rib turganimizdek, bu butun tarmoqning o'tkazuvchanligini hisoblash uchun ishlatiladi. Imkoniyatlar har bir lotda 1 ta, ya'ni. vaqt birligida bitta mashina o'tishi mumkin (bitta ma'lumot biti, ehtimol Gigabayt ham).

Keling, M.da barcha mashinalar bir vaqtning o'zida uchrashishiga ishonch hosil qilaylik. Hamma u erga 89 birlik vaqt ichida yetib boradi. Agar menda S dan M ga jo'natish uchun juda muhim ma'lumot paketi bo'lsa, men uni 144 birlikdan iborat guruhlarga ajrataman va yuqoridagi kabi o'tkazaman. Matematika bu eng tez bo'lishini kafolatlaydi. Sizga 89 kerakligini qayerdan bildim? Men aslida taxmin qildim, lekin agar taxmin qilmasam, buni tushunishim kerak edi Kirxgof tenglamalari (kimdir eslaydimi? - bu oqim oqimini tavsiflovchi tenglamalar). Tarmoqning o'tkazish qobiliyati 184/89, bu taxminan 1,62 ga teng.

Xursandchilik haqida

Aytgancha, menga 144 raqami yoqadi. Menga bu raqam bilan avtobusda Varshavadagi Qal'a maydoniga borish juda yoqdi - uning yonida Qirol qal'asi qayta tiklanmaganida. Ehtimol, yosh kitobxonlar o'nlab nima ekanligini bilishadi. Bu 12 nusxa, lekin faqat keksa kitobxonlar o'nlab o'nlab, ya'ni, deb eslayman. 122=144, bu lot deb ataladigan narsa. Va matematikani maktab o'quv dasturidan bir oz ko'proq biladigan har bir kishi buni darhol tushunadi Anjir. 10 bizda Fibonachchi raqamlari bor va tarmoq o'tkazish qobiliyati "oltin raqam" ga yaqin.

Fibonachchi ketma-ketligida 144 mukammal kvadrat bo'lgan yagona raqamdir. Bir yuz qirq to'rt ham "quvonchli raqam". Hind havaskor matematiki shunday Dattatreya Ramachandra Kaprekar 1955 yilda u tashkil etuvchi raqamlar yig'indisiga bo'linadigan raqamlarni nomladi:

Bilsa edi Adam Mitskevich, u albatta Dzyadyda yo'q deb yozgan bo'lardi: “G'alati onadan; uning qoni uning eski qahramonlari / Va uning nomi qirq to'rt, faqat nafisroq: Va uning ismi bir yuz qirq to'rt.

O'yin-kulgiga jiddiy yondashing

Umid qilamanki, men o'quvchilarni sudoku jumboqlari jiddiy qabul qilinishi kerak bo'lgan savollarning qiziqarli tomoni ekanligiga ishontirdim. Men bu mavzuni boshqa rivojlantira olmayman. Oh, taqdim etilgan diagrammadan tarmoqning to'liq o'tkazish qobiliyatini hisoblash Anjir. 9 tenglamalar tizimini yozish ikki yoki undan ortiq soatni oladi - ehtimol hatto o'nlab soniyalar (!) kompyuter ishi.