Rangli kvadratlar va quyosh tutilishi
Maqolada o'rta maktab o'quvchilari - Milliy bolalar jamg'armasi stipendiyalari uchun darslarim tasvirlangan. Jamg‘arma ayniqsa iqtidorli bolalar va yoshlarni (boshlang‘ich maktabning XNUMX-sinfidan to o‘rta maktabgacha) izlaydi va tanlangan talabalarga “stipendiya”lar taqdim etadi. Biroq, ular umuman naqd pul olishdan iborat emas, balki iste'dodni rivojlantirish uchun, qoida tariqasida, ko'p yillar davomida har tomonlama g'amxo'rlik qilishdan iborat. Ushbu turdagi boshqa ko'plab loyihalardan farqli o'laroq, taniqli olimlar, madaniyat arboblari, taniqli gumanistlar va boshqa donishmandlar, shuningdek, ba'zi siyosatchilar Jamg'arma vakilliklariga jiddiy yondashadi.
Jamg'arma faoliyati sport, shu jumladan, san'atdan tashqari, asosiy maktab fanlari bo'lgan barcha fanlarga taalluqlidir. Jamg'arma 1983 yilda o'sha paytdagi haqiqatga qarshi vosita sifatida yaratilgan. Har kim jamg'armaga murojaat qilishi mumkin (odatda maktab orqali, yaxshisi o'quv yili tugagunga qadar), lekin, albatta, ma'lum bir elak, ma'lum bir malaka tartibi mavjud.
Yuqorida aytib o'tganimdek, maqola mening Gdynia shahrida, 2016 yil mart oyida III o'rta maktab qoshidagi 24-o'rta maktabda o'tkazgan mahorat darslariga asoslangan. Dengiz floti. Ko'p yillardan buyon ushbu seminarlar Fond homiyligida favqulodda xarizma va yuqori intellektual saviya o'qituvchisi Voytsex Tomalchik tomonidan tashkil etilgan. 2008 yilda u Polshada eng yaxshi o'ntalikka kirdi, ular pedagogika professori unvoniga sazovor bo'ldi (ko'p yillar oldin qonun bilan nazarda tutilgan). “Ta’lim dunyoning o‘qi” degan gapda biroz mubolag‘a bor.
va oy har doim maftunkor - shunda biz hamma narsa harakatda, santimetr va soniyalarda o'lchanadigan ulkan fazoda mitti sayyorada yashayotganimizni his qila olasiz. Bu hatto meni bir oz qo'rqitadi, shuningdek, vaqt nuqtai nazaridan. Bizga ma'lumki, bugungi Varshava hududidan ko'rinadigan keyingi to'liq tutilish ... 2681 yilda bo'ladi. Qiziq, buni kim ko'radi? Osmonimizdagi Quyosh va Oyning ko‘rinadigan o‘lchamlari deyarli bir xil – shuning uchun tutilishlar juda qisqa va ajoyib. Asrlar davomida bu qisqa daqiqalar astronomlar uchun quyosh tojini ko'rish uchun etarli bo'lishi kerak edi. Ajablanarlisi shundaki, ular yiliga ikki marta sodir bo'ladi ... lekin bu faqat Yerning biron bir joyida ularni qisqa vaqt davomida ko'rish mumkinligini anglatadi. To'lqinlar harakati natijasida Oy Yerdan uzoqlashmoqda - 260 million yildan keyin u shunchalik uzoqda bo'ladiki, biz (biz???) faqat halqasimon tutilishlarni ko'ramiz.
Ko'rinishidan, birinchi bashorat qilgan tutilishi, Miletlik Fales (miloddan avvalgi 28-585 asrlar) edi. Haqiqatan ham sodir bo'lganmi, ya'ni buni bashorat qilganmi, bilib bo'lmasa kerak, chunki Kichik Osiyoda quyosh tutilishi eramizdan avvalgi 567-yil, 566-yilda sodir bo'lganligi zamonaviy hisob-kitoblar bilan tasdiqlangan haqiqatdir. Albatta, men bugungi vaqt hisobi uchun ma'lumotlarni keltiraman. Bolaligimda odamlar yillarni qanday hisoblashlarini tasavvur qilardim. Shunday qilib, bu, masalan, miloddan avvalgi XNUMX yil, Yangi yil kechasi keladi va odamlar xursand bo'lishadi: faqat miloddan avvalgi XNUMX yil! Nihoyat, “bizning davr” kelganida, ular qanchalik xursand bo'lishsa kerak! Bir necha yil oldin biz qanday ming yillik burilishlarni boshdan kechirdik!
Sanalar va diapazonlarni hisoblash matematikasi tutilish, unchalik murakkab emas, lekin muntazamlik bilan bog'liq bo'lgan barcha turdagi omillar va undan ham yomoni, orbitalarda tananing notekis harakati bilan to'la. Men hatto bu matematikani bilishni xohlardim. Miletlik Thales qanday qilib kerakli hisob-kitoblarni amalga oshirishi mumkin edi? Javob oddiy. Sizda osmon xaritasi bo'lishi kerak. Bunday xaritani qanday qilish kerak? Bu ham qiyin emas, qadimgi misrliklar buni qanday qilishni bilishgan. Yarim tunda ikki ruhoniy ma'badning tomiga chiqishdi. Ularning har biri o'tirib, ko'rgan narsasini (hamkasbi kabi) chizadi. Ikki ming yildan keyin biz sayyoralarning harakati haqida hamma narsani bilamiz ...
Chiroyli geometriya yoki "gilamda" qiziqarli
Yunonlar raqamlarni yoqtirmasdilar, ular geometriyaga murojaat qilishdi. Biz shunday qilamiz. Bizning tutilishi ular oddiy, rang-barang, lekin xuddi qiziqarli va haqiqiy bo'ladi. Biz ko'k figuraning qizilni ushlab turadigan tarzda harakatlanishi haqidagi konventsiyani qabul qilamiz. Keling, ko'k shaklni oy, qizil rangni quyosh deb ataymiz. Biz o'zimizga quyidagi savollarni beramiz:
- tutilish qancha davom etadi;
- maqsadning yarmi qoplanganda;
Guruch. 1 Quyosh va oy bilan ko'p rangli "gilam"
- maksimal qamrov qancha;
- qalqon qoplamining o'z vaqtida bog'liqligini tahlil qilish mumkinmi? Ushbu maqolada (men matn miqdori bilan cheklanganman) men ikkinchi savolga e'tibor qarataman. Buning ortida, ehtimol, zerikarli hisob-kitoblarsiz, chiroyli geometriya mavjud. Keling, rasmga qaraylik. 1. Quyosh tutilishi bilan bog'liq bo'lishini taxmin qilish mumkinmi?
Rostini aytsam, men muhokama qiladigan vazifalar maxsus tanlab olinadi, o‘rta va yuqori sinf o‘quvchilarining bilim va ko‘nikmalariga moslashtiriladi. Ammo biz musiqachilar tarozi o'ynashi, sportchilar esa umumiy rivojlanish mashqlari kabi vazifalarni bajaramiz. Bundan tashqari, bu shunchaki chiroyli gilam emasmi (1-rasm)?
Guruch. 2 "Moviy" Oy va "Qizil" Quyosh
Bizning samoviy jismlarimiz, hech bo'lmaganda, dastlab rangli kvadratlar bo'ladi. Oy ko'k, quyosh qizil (bo'yash uchun eng yaxshi). hozirgi bilan tutilishi Oy quyoshni osmon bo'ylab quvib o'tadi, ushlaydi ... va uni yopadi. Biz bilan ham xuddi shunday bo'ladi. Eng oddiy holat, Oy Quyoshga nisbatan harakat qilganda, rasmda ko'rsatilganidek. 2. Tutilish Oy diskining cheti Quyosh diskining chetiga tegishi bilan boshlanadi (2-rasm) va undan tashqariga chiqqanda tugaydi.
Guruch. 3 Oy quyoshga diagonal yaqinlashadi
Biz "Oy" vaqt birligida, masalan, daqiqada bitta hujayrani harakatga keltiradi deb taxmin qilamiz. Keyin tutilish sakkiz vaqt birligi, aytaylik, daqiqalar davom etadi. Yarim quyosh tutilishi butunlay xiralashgan Kadrning yarmi ikki marta yopiladi: 2 va 6 daqiqadan so'ng. Foizning noaniqlik grafigi oddiy. Dastlabki ikki daqiqada qalqon noldan 1 gacha tezlikda teng ravishda yopiladi, keyingi ikki daqiqada u bir xil tezlikda ochiladi.
Mana qiziqarliroq misol (3-rasm). Oy quyoshga diagonal yaqinlashadi. Bizning daqiqada to'lov shartnomamizga ko'ra, tutilish 8√ davom etadi2 daqiqalar - bu vaqtning o'rtasida bizda to'liq tutilish bor. t vaqtdan keyin quyoshning qaysi qismi qoplanishini hisoblab chiqamiz (3-rasm). Agar tutilish boshlanganidan beri t daqiqa o'tgan bo'lsa va natijada Oy rasmda ko'rsatilgandek bo'lsa. 5, keyin (diqqat!) Shuning uchun u qoplangan (APQR kvadratining maydoni), quyosh diskining yarmiga teng; shuning uchun u qachon qoplangan, ya'ni. 4 daqiqadan so'ng (keyin tutilish tugashidan 4 daqiqa oldin).
Guruch. 4 "Soyalash" funksiyasining grafigi
Jamiyat bir daqiqa davom etadi (t = 4√2), “soyali qism” funksiyasining grafigi esa parabolalarning ikkita yoyidan iborat (4-rasm).
Bizning ko'k oyimiz qizil quyosh bilan burchakka tegadi, lekin u diagonal bo'ylab emas, balki biroz diagonal bo'ylab ketib, uni qoplaydi.Harakatni biroz murakkablashtirganimizda qiziqarli geometriya paydo bo'ladi (6-rasm). Harakat yo'nalishi endi vektor [4,3], ya'ni "to'rt hujayra o'ngga, uchta hujayra yuqoriga". Quyoshning holati shundayki, tutilish "osmon jismlari" ning tomonlari uzunligining chorak qismiga yaqinlashganda boshlanadi (A pozitsiyasi). Oy B pozitsiyasiga o'tganda, u Quyoshning oltidan bir qismini, C holatida esa yarmini tutadi. D pozitsiyasida bizda to'liq tutilish bor, keyin hamma narsa "xuddi bo'lgani kabi" orqaga qaytadi.
Guruch. 5 Quyoshning bir qismi t vaqtida yashiringan
Tutilish Oy G pozitsiyasida bo'lganda tugaydi. U shuncha davom etdi qism uzunligi AG. Agar oldingidek, vaqt birligi sifatida Oyning "bir kvadrat" dan o'tgan vaqtini olsak, u holda AG uzunligi teng bo'ladi. Agar biz osmon jismlarimiz 4 dan 4 gacha bo'lgan eski konventsiyaga qaytsak, natija boshqacha bo'lar edi (nima?). Ko'rsatish oson bo'lganidek, maqsad t < 15 dan keyin yopiladi. "Ekranni qoplash foizi" funksiyasining grafigi rasmda ko'rish mumkin. 6.
Guruch. 6 “foizli himoya” funksiyasining grafigi
Tutilish va sakrash tenglamasi
Guruch. 7-rasmda ko'rsatilgan tutilish paytida quyosh diskining obstruktsiyasi. 6
Agar biz aylanalar masalasini ko'rib chiqmasak, tutilish muammosi to'liq bo'lmaydi. Bu ancha murakkabroq, ammo keling, bir doira ikkinchisining yarmini tutganida va eng oddiy holatda, ulardan biri ikkalasini bog'laydigan diametr bo'ylab harakatlanayotganini aniqlashga harakat qilaylik. Chizma ba'zi kredit kartalari egalariga tanish.
Maydonlarning o'rnini hisoblash juda murakkab, chunki bu, birinchidan, aylana segmentining maydoni formulasini bilishni, ikkinchidan, burchak yoyi haqida bilishni va uchinchidan (va eng yomoni) qobiliyatni talab qiladi. ma'lum bir sakrash tenglamasini echish uchun. Men "o'tish davri tenglamasi" nima ekanligini tushuntirmayman, keling, misolni ko'rib chiqamiz (8-rasm).
Guruch. 8 "Sferik" tutilish
Dumaloq qism - bu to'g'ri chiziq bilan aylana kesilganidan keyin qolgan "kosa". Bunday segmentning maydoni S = 1/2r2(ph-sinph), bu erda r - aylananing radiusi, ph - segment suyanadigan markaziy burchak (8-rasm). Bu uchburchakning maydonini dumaloq sektorning maydonidan ayirish orqali osongina olinadi.
Epizod O1O2 (doiralarning markazlari orasidagi masofa) keyin 2rcoph/2 ga, balandligi esa (kenglik, "bel chizig'i") h = 2rsinph/2 ga teng. Shunday qilib, agar biz Oy quyosh diskining yarmini qachon qoplashini hisoblamoqchi bo'lsak, biz tenglamani echishimiz kerak: soddalashtirilgandan so'ng u quyidagicha bo'ladi:
Guruch. 9 Ikki funktsiyaning grafiklari
Bunday tenglamalarning yechimi oddiy algebra doirasidan tashqariga chiqadi - tenglama ikkala burchakni ham, ularning trigonometrik funktsiyalarini ham o'z ichiga oladi. Tenglama an'anaviy usullardan tashqarida. Shuning uchun ham shunday deyiladi sakrash. Keling, avval ikkala funktsiyaning, ya'ni funksiya va funksiyalarning grafiklarini ko'rib chiqamiz.Biz bu rasmdan taxminiy yechimni o'qishimiz mumkin. Biroq, biz iterativ taxminni olishimiz mumkin yoki ... Excel elektron jadvalidagi Yechish opsiyasidan foydalanishimiz mumkin. Har bir o'rta maktab o'quvchisi buni qila olishi kerak, chunki bu 20-asr. Men murakkabroq Mathematica vositasidan foydalandim va bu erda keraksiz aniqlikning XNUMX o'nli kasrlari bilan yechimimiz:
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
Guruch. 10 Matematikada tutilish animatsiyasi
Buni 180/p ga ko'paytirish orqali darajaga aylantiramiz. Biz 132 daraja, 20 daqiqa, 45 va yoyning chorak soniyasini olamiz. Doira markazigacha bo'lgan masofa O ga teng ekanligini hisoblaymiz1O2 = 0,808 radius, va "bel" 2,310.
