Geometrik yo'llar va chakalakzorlar

Ushbu maqolani yozish paytida men Yan Pietrzakning Polsha Xalq Respublikasida xavfsizlik klapan sifatida tan olingan Pod Egidą kabaresida satirik faoliyatidan oldin kuylagan juda eski qo'shig'ini esladim; tizimning paradokslariga chin dildan kulish mumkin edi. Muallif bu qo‘shiqda sotsialistik siyosiy ishtirokni tavsiya qilgan, siyosatdan chetda qolmoqchi bo‘lganlarni masxara qilib, gazetada radioni o‘chirib qo‘ygan. "Maktabni o'qishga qaytish yaxshiroq", deb o'sha paytdagi XNUMX yoshli Petshak kinoya bilan kuyladi.

Men maktabga o'qishga qaytaman. Men Shchepan Yelenskiyning (1881-1949) "Lylavati" kitobini qayta o'qiyman (birinchi marta emas). Bir nechta o'quvchilar uchun so'zning o'zi nimanidir aytadi. Bu mashhur hind matematiki Bxaskara (1114-1185) nomi bilan tanilgan Akariya ismli qizining ismi yoki o'zining algebra haqidagi kitobini shu nom bilan atagan donishmandning ismi. Keyinchalik Lilavatining o'zi ham taniqli matematik va faylasufga aylandi. Boshqa manbalarga ko'ra, u kitobni o'zi yozgan.

Shepan Yelenskiy matematikaga oid kitobiga (birinchi nashr, 1926 yil) xuddi shunday nom bergan. Bu kitobni matematik asar deb atash qiyin bo'lishi mumkin - u ko'proq jumboqlar to'plami edi va asosan frantsuz manbalaridan qayta yozilgan (zamonaviy ma'noda mualliflik huquqi mavjud emas edi). Har holda, ko'p yillar davomida u matematika bo'yicha yagona mashhur Polsha kitobi edi - keyinchalik Jelenskiyning ikkinchi kitobi "Pifagor shirinliklari" qo'shildi. Shunday qilib, matematikaga qiziqqan yoshlarda (bir paytlar men ham shunday bo'lganman) tanlash uchun hech narsa yo'q edi ...

boshqa tomondan, "Lilavati"ni deyarli yoddan bilish kerak edi... Eh, shunday paytlar bo'lgan... Ularning eng katta afzalligi men... o'shanda o'smir edim. Bugun, yaxshi ma'lumotli matematik nuqtai nazaridan, men Lilavatiga butunlay boshqacha tarzda qarayman - ehtimol Shpiglasova Pshelenchga boradigan yo'lning egilishlarida alpinist kabi. Biri ham, ikkinchisi ham jozibasini yo‘qotmaydi... Shaxsiy hayotida milliy g‘oya deb atalmish g‘oyalarni targ‘ib qiluvchi Shchepan Yelenskiy o‘ziga xos uslubida so‘zboshida shunday yozadi:

Milliy xususiyatlarning tavsifiga to‘xtalmasdan shuni aytamanki, Yelenskiyning matematika haqidagi so‘zlari to‘qson yildan keyin ham o‘z ahamiyatini yo‘qotmagan. Matematika sizni fikrlashga o'rgatadi. Bu haqiqat. Biz sizga boshqacha, soddaroq va chiroyliroq fikrlashni o'rgatamizmi? Balkim. Faqat... biz hali ham qila olmaymiz. Matematika bilan shug‘ullanishni istamaydigan o‘quvchilarimga bu ham ularning aql-zakovati sinovi ekanligini tushuntiraman. Agar siz haqiqatan ham oddiy matematik nazariyani o'rgana olmasangiz, unda... ehtimol sizning aqliy qobiliyatingiz ikkalamiz ham xohlaganimizdan ham yomonroqdir...?

Qumdagi belgilar

Va bu erda "Lylavati" ning birinchi hikoyasi - frantsuz faylasufi Jozef de Maistre (1753-1821) tomonidan tasvirlangan hikoya.

Vayron bo'lgan kemadan dengizchi to'lqinlar tomonidan bo'sh qirg'oqqa uloqtirildi, u o'zi yashamagan deb hisobladi. To'satdan qirg'oq qumida kimningdir oldida chizilgan geometrik figuraning izini ko'rdi. O'shanda u orolning kimsasiz emasligini tushundi!

Yelenskiy de Mestridan iqtibos keltirgan holda shunday yozadi: geometrik shaklBu baxtsiz, kema halokatga uchragan, tasodif uchun soqov ibora bo'lardi, lekin u bir qarashda unga nisbat va raqamni ko'rsatdi va bu ma'rifatli odamdan xabar berdi. Tarix uchun juda ko'p.

E'tibor bering, dengizchi xuddi shunday reaktsiyaga sabab bo'ladi, masalan, K harfini, ... va odamning mavjudligining boshqa izlarini chizish. Bu erda geometriya ideallashtirilgan.

Biroq, astronom Kamil Flammarion (1847-1925) tsivilizatsiyalar geometriyadan foydalanib, uzoqdan bir-birlari bilan salomlashishlarini taklif qildi. U bunda aloqaning yagona to'g'ri va mumkin bo'lgan urinishini ko'rdi. Keling, shunday marsliklarga Pifagor uchburchaklarini ko'rsataylik... ular bizga Thales bilan javob berishadi, biz ularga Vyeta naqshlari bilan javob beramiz, ularning doirasi uchburchakka sig'adi, shuning uchun do'stlik boshlandi ...

Jyul Vern, Stanislav Lem kabi yozuvchilar bu fikrga qaytdilar. Va 1972 yilda geometrik (va nafaqat) naqshli plitkalar hali ham kosmos kengliklarini kesib o'tuvchi Pioneer zondiga joylashtirildi, hozir bizdan deyarli 140 astronomik birlik (1 I - Yerning Yerdan o'rtacha masofasi). . Quyosh, ya'ni taxminan 149 million km). Plitka, qisman, yerdan tashqari sivilizatsiyalar soni bo'yicha bahsli qoidani yaratuvchisi astronom Frenk Dreyk tomonidan ishlab chiqilgan.

Geometriya ajoyib. Bu fanning kelib chiqishi haqidagi umumiy nuqtai nazarni hammamiz bilamiz. Biz (biz insonlar) endigina erni (keyinroq erni) eng foydali maqsadlar uchun o'lchashni boshladik. Masofalarni aniqlash, to'g'ri chiziqlar chizish, to'g'ri burchaklarni belgilash va hajmlarni hisoblash asta-sekin zaruratga aylandi. Demak, hamma narsa geometriya ("Yerni o'lchash"), shuning uchun barcha matematika ...

Biroq, bir muncha vaqt fan tarixining bu aniq manzarasi bizni bulutli qildi. Agar matematika faqat operatsion maqsadlar uchun kerak bo'lsa, biz oddiy teoremalarni isbotlash bilan shug'ullanmagan bo'lardik. Bir nechta to'g'ri burchakli uchburchaklarda gipotenuzalar kvadratlarining yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng ekanligini tekshirgandan so'ng, "ko'ryapsizmi, bu to'g'ri bo'lishi kerak", deyish mumkin. Nega bunday rasmiyatchilik?

Olxo'ri pirogi mazali bo'lishi kerak, kompyuter dasturi ishlashi kerak, mashina ishlashi kerak. Agar men barrelning sig'imini o'ttiz marta hisoblagan bo'lsam va hamma narsa tartibda bo'lsa, unda nima uchun?

Bu orada, qadimgi yunonlar ba'zi rasmiy dalillarni topish kerakligi haqida o'yladi.

Demak, matematika Thalesdan (miloddan avvalgi 625-547) boshlanadi. Taxminlarga ko'ra, Milet nima uchun hayron bo'lgan. Aqlli insonlar uchun nimadir ko‘rganligi, nimagadir ishonch hosil qilgani yetarli emas. Ular isbot zarurligini, farazdan tezisgacha bo'lgan mantiqiy argumentlar ketma-ketligini ko'rdilar.

Ular ham ko'proq narsani xohlashdi. Ilk bor fizik hodisalarni ilohiy aralashuvisiz tabiiy yo‘l bilan tushuntirishga harakat qilgan Fales bo‘lsa kerak. Evropa falsafasi tabiat falsafasidan - fizikaning orqasida turgan narsadan boshlangan (shuning uchun nomi: metafizika). Lekin Yevropa ontologiyasi va naturfalsafasining asoslari pifagorchilar tomonidan qo‘yilgan (Pifagor, miloddan avvalgi 580-500-yillar).

U Apennin yarim orolining janubidagi Krotone shahrida o‘z maktabiga asos solgan – bugun biz uni sekta deb atagan bo‘lardik. Fan (so'zning hozirgi ma'nosida), tasavvuf, din va fantaziya bir-biri bilan chambarchas bog'liq. Tomas Mann "Doktor Faust" romanida nemis gimnaziyasida matematika darslarini juda chiroyli tarzda taqdim etgan. Mariya Kuretskaya va Vitold Virpsha tomonidan tarjima qilingan ushbu parcha quyidagicha:

Charlz van Dorenning “Tarix tongidan to hozirgi kungacha bilimlar tarixi” nomli qiziqarli kitobida men juda qiziqarli nuqtai nazarni topdim. Boblarning birida muallif Pifagor maktabining ahamiyatini tasvirlaydi. Bobning nomi meni hayratda qoldirdi. Unda shunday deyilgan: “Matematikaning ixtirosi: Pifagorchilar”.

Biz ko'pincha matematik nazariyalar kashf qilinayotganini (masalan, noma'lum erlar) yoki ixtiro qilinganligini (masalan, ilgari mavjud bo'lmagan mashinalar) muhokama qilamiz. Ba'zi ijodiy matematiklar o'zlarini tadqiqotchi, boshqalari ixtirochi yoki dizayner, kamroq hisoblagich sifatida ko'rishadi.

Ammo bu kitob muallifi umuman matematika ixtirosi haqida yozadi.

Mubolag'adan aldashgacha

Ushbu uzoq kirish qismidan so'ng, men eng boshiga o'taman. geometriyageometriyaga haddan tashqari ishonish olimni qanday qilib chalg'itishi mumkinligini tasvirlash. Iogannes Kepler fizika va astronomiyada samoviy jismlar harakatining uchta qonunining kashfiyotchisi sifatida tanilgan. Birinchidan, quyosh sistemasidagi har bir sayyora quyosh atrofida elliptik orbita bo'ylab harakatlanadi, uning o'choqlaridan birida quyosh joylashgan. Ikkinchidan, muntazam oraliqlarda Quyoshdan olingan sayyoraning etakchi nuri teng maydonlarni tortadi. Uchinchidan, sayyoraning Quyosh atrofida aylanish davri kvadratining uning orbitasining yarim katta o'qi kubiga nisbati (ya'ni, Quyoshdan o'rtacha masofa) Quyosh tizimidagi barcha sayyoralar uchun doimiydir.

Ehtimol, bu uchinchi qonun edi - uni o'rnatish uchun juda ko'p ma'lumotlar va hisob-kitoblar kerak edi, bu esa Keplerni sayyoralar harakati va holatidagi naqshlarni qidirishni davom ettirishga undadi. Uning yangi “kashfiyoti” tarixi juda ibratli. Qadim zamonlardan beri biz nafaqat oddiy ko'pburchaklarni, balki kosmosda faqat beshtasi borligini ko'rsatadigan dalillarni ham hayratda qoldirdik. Uch o'lchovli ko'pburchak muntazam deyiladi, agar uning yuzlari bir xil muntazam ko'pburchaklar bo'lsa va har bir tepada bir xil miqdordagi qirralar bo'lsa. Oddiy ko'pburchakning har bir burchagi "bir xil ko'rinishi" kerak. Eng mashhur ko'pburchak - kub. Har bir inson oddiy to'piqni ko'rgan.

Muntazam tetraedr kamroq ma'lum va maktabda uni muntazam uchburchak piramida deb atashadi. Bu piramidaga o'xshaydi. Qolgan uchta muntazam ko'pburchak kamroq ma'lum. Kub chetlarining markazlarini birlashtirganda oktaedr hosil bo'ladi. Dodekadr va ikosahedr allaqachon to'pga o'xshaydi. Yumshoq teridan qilingan, ular qazish uchun qulay bo'lar edi. Beshta Platonik qattiq jismdan boshqa oddiy ko'pburchaklar yo'q degan fikr juda yaxshi. Birinchidan, biz tushunamizki, agar tana muntazam bo'lsa, unda bir xil miqdordagi (q) bir xil muntazam ko'pburchaklar har bir tepada birlashishi kerak, bu p-burchaklar bo'lsin. Endi biz muntazam ko'pburchakdagi burchak nima ekanligini eslashimiz kerak. Agar kimdir maktabdan eslamasa, sizga to'g'ri naqshni qanday topish kerakligini eslatamiz. Biz burchakda sayohat qildik. Har bir cho'qqida biz bir xil burchakdan aylanamiz a. Biz ko'pburchak atrofida aylanib, boshlang'ich nuqtaga qaytganimizda, biz p shunday burilishlar qildik va jami 360 gradusga aylandik.

Ammo a - biz hisoblamoqchi bo'lgan burchakning 180 daraja to'ldiruvchisidir va shuning uchun ham

Biz muntazam ko'pburchakning burchagi formulasini topdik (matematik aytadi: burchak o'lchovlari). Keling, tekshiramiz: p = 3 uchburchakda a yo'q

Mana bunday. Qachon p = 4 (kvadrat), keyin

darajalar ham yaxshi.

Biz beshburchak uchun nima olamiz? Har bir p ning burchaklari bir xil bo'lgan q ko'pburchak bo'lganda nima sodir bo'ladi

 darajalar bir cho'qqida pasayadi? Agar u tekislikda bo'lsa, unda burchak hosil bo'lar edi

daraja va 360 darajadan oshmasligi kerak - chunki u holda ko'pburchaklar bir-biriga yopishadi.

Biroq, bu ko'pburchaklar fazoda uchrashganligi sababli, burchak to'liq burchakdan kichik bo'lishi kerak.

Va bu erda hamma narsa kelib chiqadigan tengsizlik:

Uni 180 ga bo'ling, ikkala qismni ham p ga ko'paytiring, tartib (p-2) (q-2) < 4. Nima keladi? Bilamizki, p va q natural sonlar bo'lishi kerak va p > 2 (nima uchun? Va p nima?) va shuningdek, q > 2. Ikki natural sonning ko'paytmasini 4 dan kichik qilishning ko'p usullari mavjud emas. Biz Ularning barchasini 1-jadvalda keltiraman.

Men chizmalarni joylashtirmayman, bu raqamlarni hamma Internetda ko'rishi mumkin... Internetda... Men lirik chekinishni rad etmayman - ehtimol bu yosh kitobxonlar uchun qiziqarlidir. 1970 yilda men seminarda nutq so'zladim. Mavzu qiyin edi. Tayyorgarlik uchun vaqtim oz edi, kechqurunlari o'tirardim. Asosiy maqola faqat o'qiladigan joyda edi. Joy qulay, ish muhiti bor edi, yettida yopildi. Keyin kelinning (hozir xotinim) o'zi men uchun butun maqolani qayta yozishni taklif qildi: o'nga yaqin bosma varaqlar. Men uni ko'chirib oldim (yo'q, qalam bilan emas, hatto qalamlarimiz ham bor edi), ma'ruza muvaffaqiyatli o'tdi. Bugun men eskirgan ushbu nashrni topishga harakat qildim. Yodimda faqat muallifning ismi... Internetdagi qidiruvlar uzoq davom etdi... to‘liq o‘n besh daqiqa. Men bu haqda jilmayib, biroz asossiz pushaymonlik bilan o‘ylayman.

ga qaytamiz Keplera va geometriya. Ko'rinishidan, Aflotun beshinchi muntazam shaklning mavjudligini bashorat qilgan, chunki unda butun dunyoni qamrab oladigan birlashtiruvchi narsa yo'q edi. Balki shuning uchun u bir talabaga (Theajtet) uni izlashni buyurgandir. Qanday bo'lsa, shunday bo'ldi, uning asosida dodekaedr kashf qilindi. Biz Platonning bunday munosabatini panteizm deb ataymiz. Nyutongacha bo'lgan barcha olimlar unga ozmi-ko'pmi bo'ysundilar. O'ta oqilona XVIII asrdan boshlab, uning ta'siri keskin kamaydi, garchi biz hammamiz u yoki bu tarzda unga bo'ysunganimizdan uyalmasligimiz kerak.

Keplerning quyosh tizimini qurish kontseptsiyasida hamma narsa to'g'ri edi, eksperimental ma'lumotlar nazariyaga to'g'ri keldi, nazariya mantiqiy jihatdan izchil, juda chiroyli edi ... lekin butunlay yolg'on. Uning davrida faqat oltita sayyora ma'lum edi: Merkuriy, Venera, Yer, Mars, Yupiter va Saturn. Nega faqat oltita sayyora bor? — soʻradi Kepler. Va qaysi muntazamlik ularning Quyoshdan uzoqligini belgilaydi? U hamma narsa bir-biriga bog'liq, deb taxmin qildi geometriya va kosmogoniya bir-biri bilan chambarchas bog'liqdir. Qadimgi yunonlarning yozuvlaridan u faqat beshta muntazam ko'p yuzli borligini bilgan. U oltita orbita orasida beshta bo'shliq borligini ko'rdi. Xo'sh, bu bo'sh joylarning har biri qandaydir oddiy ko'pburchaklarga to'g'ri keladi?

Bir necha yillik kuzatishlar va nazariy ishlardan so'ng u quyidagi nazariyani yaratdi, uning yordamida u 1596 yilda nashr etilgan "Mysterium Cosmographicum" kitobida taqdim etgan orbitalarning o'lchamlarini juda aniq hisoblab chiqdi: Gigant sharni tasavvur qiling, diametri Merkuriyning quyosh atrofidagi yillik harakatida orbitasining diametri. Keyin tasavvur qiling-a, bu sharda muntazam oktaedr, uning ustida shar, uning ustida ikosahedr, uning ustida yana shar, uning ustida dodekaedr, uning ustida boshqa shar, tetraedr, keyin yana shar, kub bor. va nihoyat, bu kubda to'p tasvirlangan.

Kepler bu ketma-ket sharlarning diametri boshqa sayyoralar: Merkuriy, Venera, Yer, Mars, Yupiter va Saturn orbitalarining diametrlari degan xulosaga keldi. Nazariya juda to'g'ri bo'lib tuyuldi. Afsuski, bu eksperimental ma'lumotlarga to'g'ri keldi. Matematik nazariyaning to'g'riligiga uning eksperimental ma'lumotlarga yoki kuzatuv ma'lumotlariga, ayniqsa "osmondan olingan" ga mos kelishidan ko'ra yaxshiroq dalil bormi? Men bu hisob-kitoblarni 2-jadvalda jamlayman. Xo'sh, Kepler nima qildi? Men harakat qildim va u ishlamaguncha, ya'ni konfiguratsiya (sferalar tartibi) va natijada hisob-kitoblar kuzatuv ma'lumotlariga to'g'ri kelguncha harakat qildim. Mana zamonaviy Kepler raqamlari va hisoblari:

Nazariyaning hayratiga berilib, ustaxona sukunatida qilingan hisob-kitoblar emas, balki osmondagi o'lchovlar noto'g'ri ekanligiga ishonish mumkin. Afsuski, bugungi kunda biz kamida to'qqizta sayyora borligini va natijalarning barcha tasodiflari shunchaki tasodif ekanligini bilamiz. Afsuski. Bu juda chiroyli edi ...