teskari joziba

"Qarama-qarshiliklar jozibasi" haqida ko'p gapiriladi va nafaqat matematikada. Esda tutingki, qarama-qarshi sonlar faqat belgisi bilan farq qiladigan raqamlardir: ortiqcha 7 va minus 7. Qarama-qarshi sonlarning yig'indisi nolga teng. Ammo biz (ya'ni matematiklar) uchun o'zaro munosabatlar qiziqroq. Agar raqamlarning ko'paytmasi 1 ga teng bo'lsa, bu raqamlar bir-biriga teskari bo'ladi. Har bir raqam o'zining qarama-qarshiligiga ega, nolga teng bo'lmagan har bir raqamning teskarisi bor. O'zaro munosabatlarning o'zaro ta'siri urug'dir.

Inversiya ikki miqdor bir-biriga bog'langan joyda sodir bo'ladi, shuning uchun biri ortib ketsa, ikkinchisi mos keladigan tezlikda kamayadi. "Tegishli" bu miqdorlarning mahsuloti o'zgarmasligini bildiradi. Biz maktabdan eslaymiz: bu teskari nisbat. Agar men manzilga ikki baravar tezroq yetib borishni istasam (ya'ni vaqtni yarmiga qisqartirsam), tezlikni ikki baravar oshirishim kerak. Agar gaz bilan yopilgan idishning hajmi n marta kamaytirilsa, uning bosimi n marta ortadi.

Boshlang'ich ta'limda biz differensial va nisbiy taqqoslashni diqqat bilan ajratamiz. "Yana qancha"? - "Necha marta ko'p?"

Bu erda maktab faoliyatining ba'zilari:

1 vazifasi. Ikki ijobiy qiymatdan birinchisi ikkinchisidan 5 marta va ayni paytda birinchisidan 5 barobar ko'p. O'lchamlari qanday?

2 vazifasi. Agar bitta raqam ikkinchisidan 3 ta, ikkinchisi esa uchinchisidan 2 ta katta bo'lsa, birinchi raqam uchinchidan qancha katta? Agar birinchi musbat son ikkinchidan ikki marta, birinchi raqam uchinchidan uch marta bo'lsa, birinchi raqam uchinchidan necha marta katta?

3 vazifasi. 2-topshiriqda faqat natural sonlarga ruxsat beriladi. U erda tasvirlangan bunday tartibga solish mumkinmi?

4 vazifasi. Ikki ijobiy qiymatdan birinchisi ikkinchidan 5 marta, ikkinchisi esa birinchidan 5 marta. Buni iloji bormi?

"O'rtacha" yoki "o'rtacha" tushunchasi juda oddiy ko'rinadi. Dushanba kuni 55 km, seshanba kuni 45 km va chorshanba kuni 80 km masofani velosipedda bosib o'tgan bo'lsam, kuniga o'rtacha 60 km velosipedda yurganman. Biz bu hisob-kitoblarga chin dildan qo‘shilamiz, garchi ular bir kunda 60 km yurmaganim uchun biroz g‘alati bo‘lsa-da. Biz odamning aktsiyalarini xuddi shunday osonlik bilan qabul qilamiz: agar olti kun ichida ikki yuz kishi restoranga tashrif buyursa, unda o'rtacha kunlik stavka 33 va uchinchi kishi. Hm!

Faqat o'rtacha o'lchamda muammolar mavjud. Men velosiped haydashni yaxshi ko'raman. Shuning uchun men sayyohlik agentligining “Biz bilan boramiz” taklifidan foydalandim – ular bagajni mehmonxonaga yetkazib berishadi, u yerda mijoz dam olish maqsadida velosiped minadi. Juma kuni men to'rt soat yurdim: birinchi ikkitasi soatiga 24 km tezlikda. Keyin men shunchalik charchadimki, keyingi ikki soatda atigi 16 soat. Mening o'rtacha tezligim qanday edi? Albatta (24+16)/2=20km=20km/soat.

Shanba kuni esa yuklar mehmonxonada qolib ketgan, men 24 km uzoqlikdagi qal'a xarobalarini ko'rgani bordim va ularni ko'rib qaytib keldim. Men bir yo'nalishda bir soat yurdim, sekinroq, soatiga 16 km tezlikda qaytib keldim. Mehmonxona-qal'a-mehmonxona yo'nalishidagi o'rtacha tezligim qancha edi? Soatiga 20 km? Albatta yo'q. Axir, men jami 48 km yurdim va bu menga bir soat ("u erda") va bir yarim soat orqaga ketdi. Ikki yarim soat ichida 48 km, ya'ni. soat 48/2,5=192/10=19,2 km! Bunday holda, o'rtacha tezlik o'rtacha arifmetik emas, balki berilgan qiymatlarning garmonikidir:

va bu ikki qavatli formulani quyidagicha o'qish mumkin: musbat sonlarning garmonik o'rtacha qiymati ularning o'zaro arifmetik o'rtacha qiymatining o'zaro nisbati. O'zaro yig'indining o'zaroligi maktab topshiriqlarining ko'plab xorlarida paydo bo'ladi: agar bir ishchi soat qazsa, ikkinchisi - b soat, keyin birgalikda ishlab, ular o'z vaqtida qazishadi. suv havzasi (bir soatda, ikkinchisi b soatda). Agar bir qarshilik R1, ikkinchisi esa R2 bo'lsa, u holda ular parallel qarshilikka ega. 

Agar bitta kompyuter muammoni soniyalarda, boshqa kompyuter b soniyada hal qila olsa, ular birgalikda ishlaganda...

STOP! Analogiya shu erda tugaydi, chunki hamma narsa tarmoq tezligiga bog'liq: ulanishlarning samaradorligi. Ishchilar ham bir-biriga to'sqinlik qilishi yoki yordam berishi mumkin. Agar bitta odam sakkiz soatda quduq qaza olsa, sakson ishchi buni soatning 1/10 qismida (yoki 6 daqiqada) qila oladimi? Agar oltita yukchi pianinoni 6 daqiqada birinchi qavatga olib chiqsa, ulardan biri pianinoni oltmishinchi qavatga yetkazishi uchun qancha vaqt ketadi? Bunday masalalarning bema'niligi barcha matematikaning "hayotdan" muammolarga cheklangan qo'llanilishini eslatadi.

Hurmatli sotuvchi 

Tarozilar endi ishlatilmaydi. Eslatib o'tamiz, bunday tarozilarning bir kosasiga og'irlik qo'yilgan va tortilayotgan tovarlar ikkinchisiga qo'yilgan va vazn muvozanatda bo'lganda, tovarlar og'irligicha tortilgan. Albatta, og'irlik yukining ikkala qo'li ham bir xil uzunlikda bo'lishi kerak, aks holda tortish noto'g'ri bo'ladi.

Ha, albatta. Og'irligi teng bo'lmagan leverage bilan sotuvchini tasavvur qiling. Biroq, u xaridorlar bilan halol bo'lishni xohlaydi va tovarlarni ikki partiyada tortadi. Birinchidan, u bir tovaga og'irlik qo'yadi, ikkinchisida esa tegishli miqdordagi tovarlar - tarozi muvozanatda bo'lishi uchun. Keyin u tovarning ikkinchi "yarmi" ni teskari tartibda tortadi, ya'ni og'irlikni ikkinchi idishga, tovarni esa birinchisiga qo'yadi. Qo'llar teng bo'lmaganligi sababli, "yarmlar" hech qachon teng bo'lmaydi. Va sotuvchining vijdoni toza va xaridorlar uning halolligini maqtashadi: "Bu erda nima olib tashladim, keyin qo'shib qo'ydim".

Biroq, keling, xavfli vaznga qaramay, halol bo'lishni xohlaydigan sotuvchining xatti-harakatlarini batafsil ko'rib chiqaylik. Balansning qo'llari a va b uzunliklariga ega bo'lsin. Agar piyolalardan biriga kilogramm vazn, ikkinchisiga x tovar solingan bo'lsa, birinchi marta ax = b, ikkinchi marta bx = a bo'lsa, tarozi muvozanatda bo'ladi. Shunday qilib, tovarlarning birinchi qismi b / kilogrammga teng, ikkinchi qismi a / b. Yaxshi vazn a = b ga ega, shuning uchun xaridor 2 kg tovar oladi. Keling, a ≠ b bo'lganda nima sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik. Keyin a - b ≠ 0 va qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan biz bor

Biz kutilmagan natijaga keldik: bu holda o'lchovni "o'rtacha" qilishning adolatli ko'rinadigan usuli ko'proq tovar oladigan xaridorning foydasiga ishlaydi.

5 vazifasi. (Muhim, matematikada hech qanday tarzda!). Chivinning og'irligi 2,5 milligramm, filning og'irligi besh tonna (bu juda to'g'ri ma'lumot). Chivin va fil massalarining (og'irliklari) o'rtacha arifmetik, geometrik o'rtacha va garmonik o'rtacha qiymatini hisoblang. Hisob-kitoblarni tekshiring va ular arifmetik mashqlardan tashqari biron bir ma'noga ega yoki yo'qligini tekshiring. Keling, "haqiqiy hayotda" mantiqiy bo'lmagan matematik hisob-kitoblarning boshqa misollarini ko'rib chiqaylik. Maslahat: Ushbu maqolada biz allaqachon bitta misolni ko'rib chiqdik. Bu men Internetda "Matematika raqamlar bilan odamlarni aldaydi" degan fikrini topgan anonim talabaning to'g'ri ekanligini anglatadimi?

Ha, men matematikaning ulug'vorligida siz odamlarni "aldashingiz" mumkinligiga qo'shilaman - har ikkinchi shampun reklamasida bu mayinlikni bir necha foizga oshirishi aytiladi. Jinoiy faoliyat uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan foydali kundalik vositalarning boshqa misollarini qidiramizmi?

Gram!

Ushbu parchaning sarlavhasi ot emas, balki fe'ldir (birinchi shaxs ko'plik). Uyg'unlik tartib va ​​musiqani nazarda tutadi. Qadimgi yunonlar uchun musiqa fanning bir tarmog‘i bo‘lgan – tan olish kerakki, agar shunday desak, “fan” so‘zining hozirgi ma’nosini bizning eramizdan oldingi davrga o‘tkazamiz. Pifagor miloddan avvalgi XNUMX asrda yashagan.U nafaqat kompyuter, mobil telefon va elektron pochtani bilmas, balki Robert Levandovski, Mieszko I, Karl va Tsitseron kimligini ham bilmas edi. U na arab, na hatto rim raqamlarini bilmas edi (ular miloddan avvalgi XNUMX-asrda ishlatilgan), u Puni urushlari nima ekanligini bilmas edi ... Lekin u musiqani bilar edi ...

U torli asboblarda tebranish koeffitsientlari torlarning tebranish qismlari uzunligiga teskari proporsional ekanligini bilar edi. U bilar edi, bilardi, buni bugungi kundagidek ifoda eta olmadi.

Oktavani tashkil etuvchi ikki torli tebranish chastotalari 1:2 nisbatda, ya'ni yuqori notaning chastotasi pastki chastotasidan ikki baravar ko'p. Beshinchi uchun to'g'ri tebranish nisbati 2:3, to'rtinchisi 3:4, sof katta uchinchisi 4:5, kichik uchinchisi 5:6. Bular yoqimli undosh intervallardir. Keyin ikkita neytral, tebranish nisbati 6:7 va 7:8, keyin dissonantlar - katta ohang (8:9), kichik ohang (9:10). Bu kasrlar (nisbatlar) ketma-ketlikning ketma-ket a'zolarining nisbatlariga o'xshaydi, ularni matematiklar (shuning uchun ham) garmonik qator deb atashadi:

nazariy jihatdan cheksiz summadir. Oktavaning tebranishlar nisbati 2:4 qilib yozilishi va ular orasiga beshdan bir qismini qo'yish mumkin: 2:3:4, ya'ni oktavani beshinchi va to'rtinchiga ajratamiz. Bu matematikada garmonik segmentlarga bo'linish deyiladi:

Guruch. 1. Musiqachi uchun: AB oktavasini beshinchi AC ga bo'lish.Matematik uchun: Garmonik segmentatsiya

Garmonik qator kabi nazariy cheksiz yig'indi haqida gapirganda (yuqorida) nimani nazarda tutyapman? Ma'lum bo'lishicha, bunday summa har qanday katta raqam bo'lishi mumkin, asosiysi, biz uzoq vaqt davomida qo'shamiz. Ingredientlar kamroq va kamroq, lekin ular ko'proq va ko'proq. Nima ustunlik qiladi? Bu erda biz matematik tahlil sohasiga kiramiz. Ma'lum bo'lishicha, ingredientlar tugaydi, lekin juda tez emas. Men shuni ko'rsatamanki, etarli miqdorda ingredientlarni olib, xulosa qilishim mumkin:

o'zboshimchalik bilan katta. Keling, "masalan" n = 1024 ni olaylik. Rasmda ko'rsatilgandek so'zlarni guruhlaymiz:

Har bir qavs ichida har bir so'z avvalgisidan kattaroqdir, albatta, o'ziga teng bo'lgan oxirgisi bundan mustasno. Quyidagi qavslarda bizda 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 va 512 komponentlar mavjud; har bir qavs ichidagi yig'indining qiymati ½ dan katta. Bularning barchasi 5½ dan ortiq. Aniqroq hisob-kitoblar bu miqdor taxminan 7,50918 ekanligini ko'rsatadi. Ko'p emas, lekin har doim va siz ko'rishingiz mumkinki, n ni har qanday kattalik bilan qabul qilsam, men har qanday raqamdan ustun bo'lishim mumkin. Bu nihoyatda sekin (masalan, biz faqat ingredientlar bilan o'ntalikka kiramiz), lekin cheksiz o'sish har doim matematiklarni hayratda qoldirgan.

Garmonik qator bilan cheksizlikka sayohat

Mana, juda jiddiy matematika uchun jumboq. Bizda to'rtburchaklar bloklarning cheksiz ta'minoti mavjud (nima desam bo'ladi, to'rtburchaklar!) O'lchamlari, aytaylik, 4 × 2 × 1. Bir nechta (o'rnatilgan) tizimni ko'rib chiqing. Anjir. 2 - to'rt) bloklar, birinchisi uzunligining ½ qismiga, ikkinchisi yuqoridan ¼ va shunga o'xshash, uchinchisi oltidan biriga egilib turadigan tarzda joylashtirilgan. Xo'sh, ehtimol uni chindan ham barqaror qilish uchun, keling, birinchi g'ishtni biroz kamroq egaylik. Hisob-kitoblar uchun bu muhim emas.

Guruch. 2. Og'irlik markazini aniqlash

Shuni ham tushunish osonki, birinchi ikkita blokdan tashkil topgan raqam (yuqoridan sanab o'tilgan) B nuqtasida simmetriya markaziga ega bo'lganligi sababli, u holda B tortishish markazidir. Keling, uchta yuqori blokdan tashkil topgan tizimning og'irlik markazini geometrik jihatdan aniqlaylik. Bu erda juda oddiy dalil etarli. Keling, uchta blokli kompozitsiyani ikkita yuqori va uchinchi pastki qismga ajratamiz. Ushbu markaz ikki qismning og'irlik markazlarini bog'laydigan qismda yotishi kerak. Ushbu epizodning qaysi nuqtasida?

Belgilashning ikki yo'li mavjud. Birinchisida biz ushbu markaz uch blokli piramidaning o'rtasida, ya'ni ikkinchi, o'rta blokni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziqda yotishi kerakligi haqidagi kuzatishdan foydalanamiz. Ikkinchi usulda, biz tushunamizki, ikkita yuqori blokning umumiy massasi bitta blok №3 (yuqori)dan ikki baravar ko'p bo'lganligi sababli, bu qismdagi og'irlik markazi markazga qaraganda B ga ikki baravar yaqin bo'lishi kerak. Uchinchi blokning S. Xuddi shunday, biz keyingi nuqtani topamiz: biz uchta blokning topilgan markazini to'rtinchi blokning S markazi bilan bog'laymiz. Butun tizimning markazi 2 balandlikda va segmentni 1 dan 3 gacha bo'lgan nuqtada (ya'ni uzunligining ¾ qismi) joylashgan.

Biz biroz keyinroq qiladigan hisob-kitoblar rasmda ko'rsatilgan natijaga olib keladi. 3-rasm. Pastki blokning o'ng chetidan ketma-ket og'irlik markazlari olib tashlanadi:

Shunday qilib, piramidaning og'irlik markazining proyeksiyasi doimo poydevor ichida bo'ladi. Minora ag'darilmaydi. Endi ko'rib chiqaylik Anjir. 3 va bir lahzaga, keling, yuqoridan beshinchi blokni asos sifatida ishlatamiz (yorqinroq rang bilan belgilangan). Yuqori moyillik:

shunday qilib, uning chap qirrasi taglikning o'ng chetidan 1 uzoqroqda joylashgan. Mana keyingi tebranish:

Eng katta tebranish nima? Biz allaqachon bilamiz! Eng buyuk yo'q! Hatto eng kichik bloklarni ham olib, siz bir kilometrdan oshib ketishingiz mumkin - afsuski, faqat matematik jihatdan: butun Yer shunchalik ko'p bloklarni qurish uchun etarli emas!

Guruch. 3. Ko'proq bloklar qo'shing

Endi biz yuqorida qoldirgan hisob-kitoblar. Biz barcha masofalarni x o'qi bo'yicha "gorizontal" hisoblab chiqamiz, chunki buning uchun hamma narsa bor. A nuqtasi (birinchi blokning og'irlik markazi) o'ng chetidan 1/2. B nuqtasi (ikki blokli tizimning markazi) ikkinchi blokning o'ng chetidan 1/4 masofada joylashgan. Boshlanish nuqtasi ikkinchi blokning oxiri bo'lsin (endi biz uchinchisiga o'tamiz). Masalan, bitta blokning №3 og'irlik markazi qayerda? Ushbu blokning yarmi uzunligi, shuning uchun u bizning mos yozuvlar nuqtamizdan 1/2 + 1/4 = 3/4 ni tashkil qiladi. C nuqtasi qayerda? 3/4 dan 1/4 gacha bo'lgan segmentning uchdan ikki qismida, ya'ni oldingi nuqtada biz mos yozuvlar nuqtasini uchinchi blokning o'ng chetiga o'zgartiramiz. Uch blokli tizimning og'irlik markazi endi yangi mos yozuvlar nuqtasidan chiqariladi va hokazo. Og'irlik markazi C_n n blokdan tashkil topgan minora lahzali mos yozuvlar nuqtasidan 1/2n masofada joylashgan bo'lib, u asosiy blokning o'ng qirrasi, ya'ni tepadan n-blokdir.

O'zaro o'zaro bog'lanishlar qatori bir-biridan farq qilganligi sababli, biz har qanday katta o'zgarishlarni olishimiz mumkin. Bu haqiqatan ham amalga oshirilishi mumkinmi? Bu g‘ishtdan qurilgan cheksiz minoraga o‘xshaydi – ertami-kechmi u o‘z og‘irligi ostida qulab tushadi. Bizning sxemamizda bloklarni joylashtirishdagi minimal noaniqliklar (va seriyalarning qisman summalarining sekin o'sishi) biz juda uzoqqa bormasligimizni anglatadi.