Tenglamalar, kodlar, shifrlar, matematika va she'r

Mixal Shurek o‘zi haqida shunday deydi: “Men 1946 yilda tug‘ilganman. Men 1968 yilda Varshava universitetini tamomlaganman va o‘shandan beri matematika, informatika va mexanika fakultetida ishlab kelmoqdaman. Ilmiy ixtisosligi: algebraik geometriya. Men yaqinda vektor to'plamlari bilan shug'ullandim. Vektor nuri nima? Shunday qilib, vektorlarni ip bilan mahkam bog'lash kerak va bizda allaqachon bir to'da bor. Mening fizik do'stim Entoni Sim meni Yosh texnikga qo'shilishga majbur qildi (u mening to'lovlarimdan royalti olishi kerakligini tan oldi). Men bir nechta maqolalar yozdim, keyin qoldim va 1978 yildan beri siz har oyda matematika haqida o'ylaganlarimni o'qishingiz mumkin. Men tog'larni yaxshi ko'raman va ortiqcha vaznga qaramay, yurishga harakat qilaman. Menimcha, o'qituvchilar eng muhimi. Men siyosatchilarni, nima bo'lishidan qat'iy nazar, qochib qutulolmasligi uchun qattiq qo'riqlanadigan hududda saqlagan bo'lardim. Kuniga bir marta ovqatlaning. Tuleklik bir beagle menga yoqadi.

Tenglama matematik uchun shifrga o'xshaydi. Matematikaning kvintessensiyasi bo‘lgan tenglamalarni yechish shifrlangan matnni o‘qishdir. Buni XNUMX asrdan beri ilohiyotshunoslar payqashgan. Matematikani bilgan Ioann Pavel II buni o‘z va’zlarida bir necha bor yozgan va eslatgan – afsuski, faktlar xotiramdan o‘chib ketgan.

Maktab fanida u ifodalanadi Pifagoralar to'g'ri burchakli uchburchakda qandaydir bog'liqlik teoremasining muallifi sifatida. Shunday qilib, u bizning evrosentrik falsafamizning bir qismiga aylandi. Va shunga qaramay, Pifagor ko'proq fazilatlarga ega. Aynan u o‘z shogirdlariga “bu tepalik ortida nima bor?”dan boshlab “dunyoni bilish” burchini yuklagan. yulduzlarni o'rganishdan oldin. Shuning uchun yevropaliklar qadimgi sivilizatsiyalarni "kashf qilishdi" va aksincha emas.

Ba'zi o'quvchilar eslashadiViet naqshlarishuningdek"; ko'plab keksa o'quvchilar bu atamaning o'zini maktabdan va taxminan savol kvadrat tenglamalarda paydo bo'lganligini eslashadi. Bu qonuniyatlar "mafkuraviy" shifrlash ma `lumot.

Buning ajablanarli joyi yo'q Fransua Vyet (1540-1603) Genrix IV (Burbonlar sulolasidan chiqqan birinchi frantsuz qiroli, 1553-1610) saroyida kriptografiya bilan shug'ullangan va inglizlar Frantsiya bilan urushda qo'llagan shifrni buzishga muvaffaq bo'lgan. Shunday qilib, u Ikkinchi jahon urushidan oldin nemis Enigma shifrlash mashinasining sirlarini kashf etgan polshalik matematiklar (Marian Rejewski boshchiligidagi) bilan bir xil rol o'ynadi.

moda mavzusi

Aynan. "Kodlar va shifrlar" mavzusi uzoq vaqtdan beri o'qitishda moda bo'lib kelgan. Men bu haqda bir necha bor yozganman va ikki oydan keyin yana bir seriya paydo bo'ladi. Bu safar men 1920 yilgi urush haqidagi film taassurotlari ostida yozyapman, bu erda g'alaba ko'p jihatdan bolsheviklar qo'shinlari kodini o'sha paytdagi yoshlar boshchiligidagi guruh tomonidan buzishi tufayli bo'lgan. Vatslav Sierpinskiy (1882-1969). Yo'q, bu hali Enigma emas, bu faqat kirish. Filmdagi Yuzef Piłsudski (Daniil Olbrychski o‘ynagan) shifrlash bo‘limi boshlig‘iga shunday deganini eslayman:

Dekodlangan xabarlar muhim xabarni o'z ichiga oldi: Tuxachevskiy qo'shinlari qo'llab-quvvatlanmaydi. Siz hujum qilishingiz mumkin!

Men Vatslav Serpinskiyni bilardim (agar shunday desam: men yosh talaba edim, u mashhur professor edi), uning ma’ruza va seminarlarida qatnashardim. U chalg‘igan, o‘z intizomi bilan band, narigi dunyoni ko‘rmaydigan, qurib qolgan olimdek taassurot qoldirdi. U maxsus ma'ruza o'qidi, doskaga qarab, tinglovchilarga qaramaydi ... lekin o'zini ajoyib mutaxassisdek his qildi. Qanday bo'lmasin, u ma'lum matematik qobiliyatlarga ega edi - masalan, muammolarni hal qilish uchun. Boshqalar ham bor - jumboqlarni echishda nisbatan yomon, ammo butun nazariyani chuqur tushunadigan va ijodning butun sohalarini boshlashga qodir bo'lgan olimlar. Bizga ikkalasi ham kerak - birinchisi tezroq harakat qilsa ham.

Vatslav Serpinski 1920 yilda erishgan yutuqlari haqida hech qachon gapirmagan. 1939 yilgacha bu sir saqlanishi kerak edi va 1945 yildan keyin Sovet Rossiyasi bilan jang qilganlar o'sha paytdagi hokimiyatning hamdardligidan bahramand bo'lishmadi. Olimlar armiya kabi kerak, degan ishonchim o'z isbotini topdi: "har holda". Mana Prezident Ruzvelt Eynshteynni chaqirdi:

Taniqli rus matematigi Igor Arnold ochiq va afsus bilan urush matematika va fizikaning rivojlanishiga katta ta'sir ko'rsatdi (radar va GPS ham harbiy kelib chiqishi bor edi). Men atom bombasidan foydalanishning ma'naviy tomoniga kirmayman: bu erda urushning bir yilga uzaytirilishi va bir necha million o'z askarlarining o'limi - bu erda begunoh tinch aholining azoblari bor.

***

Men tanish joylarga qochib ketaman - k. Ko'pchiligimiz kodlar bilan o'ynadik, ehtimol skautlik, balki xuddi shunday. Harflarni boshqa harflar yoki boshqa raqamlar bilan almashtirish printsipiga asoslangan oddiy shifrlar, agar biz faqat bir nechta maslahatlarni ushlasak (masalan, biz qirolning ismini taxmin qilamiz) muntazam ravishda buziladi. Statistik tahlil bugungi kunda ham yordam beradi. Bundan ham yomoni, hamma narsa o'zgaruvchan bo'lsa. Ammo eng yomoni, muntazamlik bo'lmasa. Yaxshi askar Shveykning sarguzashtlari kitobida tasvirlangan kodni ko'rib chiqing. Masalan, “To‘fon” kitobini olaylik. Bu erda birinchi va ikkinchi sahifalardagi takliflar.

Biz "CAT" so'zini kodlashni xohlaymiz. Biz 1-sahifada va keyingi soniyada ochamiz. Biz 1-sahifada K harfi birinchi bo'lib 59-o'rinda paydo bo'lishini aniqlaymiz. Biz ellik to'qqizinchi so'zni qarama-qarshi tomondan, boshqa tomondan topamiz. Bu "a" so'zi. Endi O. harfi chap tomonda 16-so'z, o'ngda esa o'n oltinchi "janob". T harfi 95-o'rinda, agar men to'g'ri hisoblagan bo'lsam va o'ngdan to'qson beshinchi so'z "o". Shunday qilib, CAT = 1 LORD O.

"Taxmin qilib bo'lmaydigan" shifr, shifrlashda ham, taxmin qilishda ham sekinlashsa ham. Biz M harfini o'tkazmoqchimiz deylik. Biz uni "Wołodyjowski" so'zi bilan kodlashimizni tekshirishimiz mumkin. Va bizdan keyin ular allaqachon qamoqxona kamerasini tayyorlamoqda. Biz faqat almashtirishga ishonishimiz mumkin! Bundan tashqari, kontrrazvedka maxfiy xodimlarning ma'lumotlariga ko'ra, bir muncha vaqtdan beri mijozlar "To'fon" ning birinchi jildini bajonidil sotib olishgan.

Mening maqolam ushbu tezisga qo'shgan hissadir: hatto matematiklarning eng g'alati g'oyalari ham keng tushuniladigan amaliyotda qo'llanilishi mumkin. Masalan, 47 ga bo'linish testidan ko'ra kamroq foydali matematik kashfiyotni tasavvur qilish mumkinmi?

Bu bizga qachon hayotda kerak? Va agar shunday bo'lsa, uni ajratishga harakat qilish osonroq bo'ladi. Agar u bo'linsa, yaxshi, agar bo'lmasa, unda ... ikkinchidan yaxshi (biz bilamizki, u bo'linmaydi).

Qanday qilib ulashish kerak va nima uchun

Ushbu muqaddimadan so'ng, keling, o'tmoqchimiz.Siz o'quvchilar, bo'linish belgilarini bilasizmi? Albatta. Juft sonlar 2, 4, 6, 8 yoki nol bilan tugaydi. Raqamlar yig'indisi uchga bo'linadigan bo'lsa, raqam uchga bo'linadi. Xuddi shunday, to'qqizga bo'linish belgisi bilan - raqamlar yig'indisi to'qqizga bo'linishi kerak.

Kimga kerak? O'quvchini maktab topshiriqlaridan tashqari hamma narsada yaxshi ekanligiga ishontirsam, yolg'on gapirgan bo'lardim. Xo'sh, va 4 ga bo'linishning yana bir xususiyati (va bu nima, Reader? Balki keyingi olimpiada qaysi yilga to'g'ri kelishini bilmoqchi bo'lganingizda undan foydalanarsiz ...). Ammo 47 ga bo'linish xususiyati? Bu allaqachon bosh og'rig'i. Biror narsa 47 ga bo'linishini bilib olamizmi? Ha bo'lsa, kalkulyatorni oling va ko'ring.

Bu. Siz haqsiz, o'quvchi. Va shunga qaramay, o'qing. Arzimaydi.

47 ga bo'linish ko'rsatkichi: 100+ soni 47 ga bo'linadi, agar 47 +8 ga bo'linsa.

Matematik qoniqish bilan tabassum qiladi: "Gee, go'zal". Ammo matematika bu matematika. Dalillar muhim va biz uning go'zalligiga e'tibor beramiz. Xususiyatimizni qanday isbotlashimiz mumkin? Bu juda oddiy. 100 dan + 94 - 47 = 47 (2 -) sonini ayirish. Biz 100+-94+47=6+48=6(+8) ni olamiz.

Biz 47 ga bo'linadigan sonni ayirdik, shuning uchun 6 (+ 8) 47 ga bo'linadigan bo'lsa, 100 + ham bo'ladi. Lekin 6 soni 47 ga koʻpaytiriladi, yaʼni 6 (+ 8) 47 ga boʻlinadi, agar u + 8 boʻlsagina. Isbot yakuni.

Keling, ko'rib chiqaylik Ba'zi misollar.

8805685 soni 47 ga bo'linadimi? Agar chindan ham bizni qiziqtiradigan bo'lsak, bizni boshlang'ich maktabda o'qitilgandek bo'lish orqali tezroq bilib olamiz. Qanday bo'lmasin, endi har bir mobil telefonda kalkulyator mavjud. Bo'lingan? Ha, shaxsiy 187355.

Keling, bo'linish belgisi bizga nimani bildirishini ko'rib chiqaylik. Biz oxirgi ikki raqamni ajratamiz, ularni 8 ga ko'paytiramiz, natijani "kesilgan raqam" ga qo'shamiz va natijada olingan raqam bilan xuddi shunday qilamiz.

8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.

94 ning 47 ga bo‘linishini ko‘ramiz (bo‘linish 2 ga teng), ya’ni asl son ham bo‘linadi. Yaxshi. Ammo zavqlanishda davom etsak-chi?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Endi biz to'xtashimiz kerak. Qirq yetti 47 ga bo'linadi, to'g'rimi?

Biz haqiqatan ham to'xtashimiz kerakmi? Agar uzoqqa borsak nima bo'ladi? Xudoyim, hamma narsa bo'lishi mumkin ... Men tafsilotlarni o'tkazib yuboraman. Balki boshlanishi:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Ammo, afsuski, bu urug'larni chaynash kabi qaramlik qiladi ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Oh, qirq yetti. Bu oldin sodir bo'lgan. Keyin nima? . Huddi shunaqa. Raqamlar tsiklda shunday bo'ladi:

Bu juda qiziq. Juda ko'p halqalar.

Ikki quyidagi misollar.

Biz 10017627 soni 47 ga bo'linishini bilmoqchimiz. Bu bilim bizga nima uchun kerak? Biz printsipni eslaymiz: biluvchiga yordam bermaydigan bilimga voy. Bilim har doim biror narsa uchun mavjud. Bu biror narsa uchun bo'ladi, lekin hozir tushuntirmayman. Yana bir nechta hisoblar:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

— U amakisini boltadan tayoqqa almashtirdi. Bularning barchasidan nimani olamiz?

Xo'sh, keling, sud jarayonini takrorlaymiz. Ya'ni, biz buni davom ettiramiz (ya'ni "itratlash" so'zi).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Keling, o'yinni to'xtataylik, maktabdagi kabi (yoki kalkulyatorda) bo'ling: 235 = 5 47. Bingo. 10017627 asl soni 47 ga bo'linadi.

Barakalla!

Agar uzoqqa borsak nima bo'ladi? Menga ishoning, buni tekshirishingiz mumkin.

Va yana bir qiziq fakt. Biz 799 ning 47 ga bo'linishini tekshirmoqchimiz. Biz bo'linish funktsiyasidan foydalanamiz. Biz oxirgi ikki raqamni ajratamiz, natijada olingan sonni 8 ga ko'paytiramiz va qolganlarga qo'shamiz:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Bizda nima bor? 799 soni 47 ga bo'linishi mumkinmi? Ha to'g'ri lekin buning uchun matematika kerak emas!!! Yog 'yog'li (hech bo'lmaganda bu yog' yog'li).

Barg, qaroqchilar va hazillarning oxiri haqida!

Yana ikkita hikoya. Bargni yashirish uchun eng yaxshi joy qayerda? Javob aniq: o'rmonda! Ammo keyin uni qanday topish mumkin?

Ikkinchisi, biz qaroqchilar haqidagi kitoblardan biz uzoq vaqt oldin o'qiganmiz. Qaroqchilar xazinani ko'mgan joyning xaritasini tuzdilar. Boshqalar uni o'g'irlashdi yoki jangda g'alaba qozonishdi. Lekin xaritada u qaysi orol uchun mo‘ljallangani ko‘rsatilmagan. Va o'zingizni qidiring! Albatta, qaroqchilar buni (qiynoqqa) engishdi - men aytayotgan shifrlarni ham shunday usullar yordamida olish mumkin.

Hazillarning oxiri. O'quvchi! Biz shifrni yaratamiz. Men maxfiy josusman va aloqa qutim sifatida “Junior Technician” dan foydalanaman. Menga shifrlangan xabarlarni quyidagicha yo'naltiring.

Birinchidan, kod yordamida matnni raqamlar qatoriga aylantiring: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Ko'rib turganingizdek, biz polyak diakritikasidan foydalanmaymiz (ya'ni, ą, ę, ć, ń, ó, śsiz) va polyak bo'lmagan q, v - lekin polshalik bo'lmagan x har qanday holatda ham mavjud. Keling, yana 25 ni bo'sh joy sifatida kiritamiz (so'zlar orasidagi bo'shliq). Oh, eng muhimi. Iltimos, 47-sonli kodni kiriting.

Bu nimani anglatishini bilasiz. Siz matematik do'stingizga borasiz.

Do‘stning ko‘zlari hayratdan katta bo‘ldi.

Siz g'urur bilan javob berasiz:

Matematik sizga bu xususiyatni beradi... va siz allaqachon bilasizki, shifrlash uchun ko'zga ko'rinmas ko'rinadigan funktsiyadan foydalaniladi.

chunki bunday naqsh tasvirlangan harakatdir

100+→+8.

Shunday qilib, siz shifrlangan xabardagi 77777777 kabi raqam nimani anglatishini bilmoqchi bo'lsangiz, funksiyadan foydalanasiz.

100 + → + 8

1 dan 25 gacha bo'lgan raqamni olmaguningizcha. Endi aniq harf-raqamli kodga qarang. Keling, ko'rib chiqaylik: 77777777 →… Buni sizga vazifa sifatida qoldiraman. Ammo keling, 48 harfi qanday yashiringanini ko'rib chiqaylik? Keling, o'qiymiz:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Keyin biz navbatga kelamiz:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432 ...

Oxiri ko'rinmaydi. Oltmishinchi (!) vaqtdan keyingina 25 dan kichik raqam paydo bo'ladi.Bu 3 ga teng, ya'ni 48 C harfi.

Va bu xabar bizga nima beradi? (Sizga eslatmoqchimanki, biz 47-raqamli koddan foydalanamiz):

80 - 152 - 136 - 546 - 695719 - 100 - 224 - 555 - 412 - 111 - 640 - 102 - 152 - 12881 - 444 - 77777777 - 59 - 408 - 373 - 1234567 -

Xo'sh, o'ylab ko'ring, nima juda murakkab, ba'zi hisoblar. Biz boshladik. 80-yilning boshi. Ma'lum qoida:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Bu shunday davom etadi:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Yemoq! Xabarning birinchi harfi K. Phew, oson, lekin qancha vaqt ketadi?

Keling, 1234567 raqami bilan qancha muammoga duch kelishimiz kerakligini ko'rib chiqaylik. Faqat o'n oltinchi marta biz 25 dan kichik raqamni olamiz, ya'ni 12. Demak, 1234567 - L.

Yaxshi, deyish mumkin, lekin bu arifmetik operatsiya shunchalik soddaki, uni kompyuterda dasturlash kodni darhol buzadi. Ha, bu haqiqat. Bu oddiy kompyuter hisob-kitoblari. bilan fikr ommaviy shifr va bu ham kompyuter uchun hisob-kitoblarni qiyinlashtirish haqida. U kamida yuz yil ishlasin. U xabarning shifrini ochadimi? Muhim emas. Bu uzoq vaqt davomida muhim bo'lmaydi. Bu (ko'proq yoki kamroq) ommaviy shifrlar haqida. Agar siz juda uzoq vaqt ishlasangiz ... yangiliklar endi dolzarb bo'lmaguncha, ular buzilgan bo'lishi mumkin.

 u har doim "qarshi qurollarni" tug'dirgan. Hammasi qilich va qalqon bilan boshlandi. Maxfiy xizmatlar iqtidorli matematiklarga XNUMX asrda kompyuterlar (jumladan, biz yaratgan) shifrlash usullarini ixtiro qilish uchun katta miqdorda pul to'laydi.

yigirma ikkinchi asr? Dunyoda bu go'zal asrda yashaydigan ko'plab odamlar borligini bilish unchalik qiyin emas!

Ha? Agar men (men, "Yosh texnik" bilan bog'langan maxfiy xodim) 23 raqami bilan shifrlashni so'rasam nima bo'ladi? Yoki 17? Oddiy:

Hech qachon matematikadan bunday maqsadlarda foydalanmasligimiz kerak.

***

Maqolaning sarlavhasi she'riyat haqida. Uning bunga nima aloqasi bor?

Nima Masalan? She’r ham dunyoni shifrlaydi.

Qanday qilib?

Ularning usullari bo'yicha - algebraiklarga o'xshash.